Egy 2 literes fazékban, amelynek alapterülete 1 , 1 liter víz van. Mekkora munkát végzünk, ha egy 0,5 dm2 keresztmetszetű, elhanyagolható súlyú, magas, hengeres poharat talpával lefelé lenyomunk a fazék fenekére?
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A munkavégzés abból származik, hogy a folyadék helyzeti energiáját megváltoztatjuk. Kezdetben a helyzeti energia: ahol m=1 kg a víz össztömege, h1=0,05 m a tömegközéppontjának a magassága és g≈10ms2 a nehézségi gyorsulás. Az edényben levő víz magassága kezdetben H1=0,1 m. Tételezzük fel, hogy a pohár legalább H2=0,2 m magas, azaz nem fog belefolyni a víz. Mivel a pohár alapterülete fele az edény alapterületének, így a pohár benyomásakor a víz nem éri el az edény peremét; a vízoszlop magassága H2=0,2 m lesz. A vízoszlop tömegközéppontja h2=0,1 m magasra kerül, így a helyzeti energiája A helyzeti energiaváltozás tehát: éppen ennyi a befektetett munka is.
Megjegyzés. Kicsit bonyolultabb a helyzet, ha a pohár Hp magassága ,,nem elég'' nagy. Két eset fordulhat elő. Ha Hp<H1, akkor a pohárba befolyik a víz, így a helyzeti energiaváltozás 0 lesz. Ebben a megoldásban persze eltekintettünk attól, hogy nekünk eleinte (amíg a víz még nem kezd el befolyni a pohárba) munkát kell végeznünk; később azonban ,,visszakapjuk'' (elvben hasznosíthatjuk) ezt a befektetett munkát. Második esetben H1<Hp<H2. Ekkor Hp magasságú vízoszlop lesz a poháron kívül, és mivel az alapterületek aránya 1:1, ezért a pohárban lévő vízoszlop magassága H2-Hp. Számoljuk ki a két vízoszlop tömegét külön-külön! Az A=10-2m2 alapterületű fazékban lévő A/2 keresztmetszetű poháron kívüli ϱ=1000 kg/m3 sűrűségű vízoszlop tömege (ha az SI-beli mértékegységeket nem írjuk ki): A pohárban lévő vízoszlop tömege: A két vízoszlop helyzeti energiájának összege: | Eh(Hp)=m1gHp2+m2g(H2-Hp)2. | A felső egyenletekből a tömegeket behelyettesítve: | Eh(Hp)=25(2Hp2+0,04-0,4Hp). | A helyzeti energia változása, vagyis az eredő munkavégzés: | ΔEh=Eh(Hp)-Eh1=25(2Hp2+0,04-0,4Hp)-0,5, | azaz: | ΔEh=Eh(Hp)-Eh1=50Hp2-10Hp+0,5. | A fenti képletben a Hp magasságot méterben kell érteni, és az energiaváltozást joule-ban kapjuk.
|
|