Feladat: 4076. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Márkus Bence Gábor 
Füzet: 2009/március, 177 - 178. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Hidrosztatikai nyomás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: 4076. fizika feladat

Egy 2 literes fazékban, amelynek alapterülete 1 dm2, 1 liter víz van. Mekkora munkát végzünk, ha egy 0,5 dm2 keresztmetszetű, elhanyagolható súlyú, magas, hengeres poharat talpával lefelé lenyomunk a fazék fenekére?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A munkavégzés abból származik, hogy a folyadék helyzeti energiáját megváltoztatjuk.
Kezdetben a helyzeti energia:

Eh1=mgh1=0,5J,  
ahol m=1 kg a víz össztömege, h1=0,05 m a tömegközéppontjának a magassága és g10ms2 a nehézségi gyorsulás.
Az edényben levő víz magassága kezdetben H1=0,1 m. Tételezzük fel, hogy a pohár legalább H2=0,2 m magas, azaz nem fog belefolyni a víz. Mivel a pohár alapterülete fele az edény alapterületének, így a pohár benyomásakor a víz nem éri el az edény peremét; a vízoszlop magassága H2=0,2 m lesz. A vízoszlop tömegközéppontja h2=0,1 m magasra kerül, így a helyzeti energiája
Eh2=mgh2=1J.  
A helyzeti energiaváltozás tehát:
ΔE=mgh2-mgh1=0,5J,  
éppen ennyi a befektetett munka is.
 
Megjegyzés. Kicsit bonyolultabb a helyzet, ha a pohár Hp magassága ,,nem elég'' nagy. Két eset fordulhat elő. Ha Hp<H1, akkor a pohárba befolyik a víz, így a helyzeti energiaváltozás 0 lesz. Ebben a megoldásban persze eltekintettünk attól, hogy nekünk eleinte (amíg a víz még nem kezd el befolyni a pohárba) munkát kell végeznünk; később azonban ,,visszakapjuk'' (elvben hasznosíthatjuk) ezt a befektetett munkát.
Második esetben H1<Hp<H2. Ekkor Hp magasságú vízoszlop lesz a poháron kívül, és mivel az alapterületek aránya 1:1, ezért a pohárban lévő vízoszlop magassága H2-Hp. Számoljuk ki a két vízoszlop tömegét külön-külön! Az A=10-2m2 alapterületű fazékban lévő A/2 keresztmetszetű poháron kívüli ϱ=1000 kg/m3 sűrűségű vízoszlop tömege (ha az SI-beli mértékegységeket nem írjuk ki):
m1=ϱA2Hp=5Hp.
A pohárban lévő vízoszlop tömege:
m2=ϱA2(H2-Hp)=5(H2-Hp).
A két vízoszlop helyzeti energiájának összege:
Eh(Hp)=m1gHp2+m2g(H2-Hp)2.
A felső egyenletekből a tömegeket behelyettesítve:
Eh(Hp)=25(2Hp2+0,04-0,4Hp).
A helyzeti energia változása, vagyis az eredő munkavégzés:
ΔEh=Eh(Hp)-Eh1=25(2Hp2+0,04-0,4Hp)-0,5,
azaz:
ΔEh=Eh(Hp)-Eh1=50Hp2-10Hp+0,5.
A fenti képletben a Hp magasságot méterben kell érteni, és az energiaváltozást joule-ban kapjuk.