Kezdőlap


Feladat:	4076. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Márkus Bence Gábor
Füzet:	2009/március, 177 - 178. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Feladat, Hidrosztatikai nyomás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: 4076. fizika feladat

Egy 2 literes fazékban, amelynek alapterülete 1

dm^{2}

, 1 liter víz van. Mekkora munkát végzünk, ha egy 0,5

dm^{2}

keresztmetszetű, elhanyagolható súlyú, magas, hengeres poharat talpával lefelé lenyomunk a fazék fenekére?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A munkavégzés abból származik, hogy a folyadék helyzeti energiáját megváltoztatjuk.
Kezdetben a helyzeti energia:

\begin{matrix} E_{h_{1}} = m g h_{1} = 0, 5 J, \end{matrix}

ahol

m = 1

kg a víz össztömege,

h_{1} = 0, 05

m a tömegközéppontjának a magassága és

g \approx 10 \frac{m}{s^{2}}

a nehézségi gyorsulás.
Az edényben levő víz magassága kezdetben

H_{1} = 0, 1

m. Tételezzük fel, hogy a pohár legalább

H_{2} = 0, 2

m magas, azaz nem fog belefolyni a víz. Mivel a pohár alapterülete fele az edény alapterületének, így a pohár benyomásakor a víz nem éri el az edény peremét; a vízoszlop magassága

H_{2} = 0, 2

m lesz. A vízoszlop tömegközéppontja

h_{2} = 0, 1

m magasra kerül, így a helyzeti energiája

\begin{matrix} E_{h_{2}} = m g h_{2} = 1 J. \end{matrix}

A helyzeti energiaváltozás tehát:

\begin{matrix} Δ E = m g h_{2} - m g h_{1} = 0, 5 J, \end{matrix}

éppen ennyi a befektetett munka is.

Megjegyzés. Kicsit bonyolultabb a helyzet, ha a pohár

H_{p}

magassága ,,nem elég'' nagy. Két eset fordulhat elő. Ha

H_{p} < H_{1}

, akkor a pohárba befolyik a víz, így a helyzeti energiaváltozás

0

lesz. Ebben a megoldásban persze eltekintettünk attól, hogy nekünk eleinte (amíg a víz még nem kezd el befolyni a pohárba) munkát kell végeznünk; később azonban ,,visszakapjuk'' (elvben hasznosíthatjuk) ezt a befektetett munkát.
Második esetben

H_{1} < H_{p} < H_{2}

. Ekkor

H_{p}

magasságú vízoszlop lesz a poháron kívül, és mivel az alapterületek aránya

1 : 1

, ezért a pohárban lévő vízoszlop magassága

H_{2} - H_{p}

. Számoljuk ki a két vízoszlop tömegét külön-külön! Az

A = 10^{- 2} m^{2}

alapterületű fazékban lévő

A / 2

keresztmetszetű poháron kívüli

ϱ = 1000

kg/m

^{3}

sűrűségű vízoszlop tömege (ha az SI-beli mértékegységeket nem írjuk ki):

\begin{matrix} m_{1} = ϱ \frac{A}{2} H_{p} = 5 H_{p} . \end{matrix}

A pohárban lévő vízoszlop tömege:

\begin{matrix} m_{2} = ϱ \frac{A}{2} (H_{2} - H_{p}) = 5 (H_{2} - H_{p}) . \end{matrix}

A két vízoszlop helyzeti energiájának összege:

\begin{matrix} E_{h} (H_{p}) = \frac{m_{1} g H_{p}}{2} + \frac{m_{2} g (H_{2} - H_{p})}{2} . \end{matrix}

A felső egyenletekből a tömegeket behelyettesítve:

\begin{matrix} E_{h} (H_{p}) = 25 (2 H_{p}^{2} + 0, 04 - 0, 4 H_{p}) . \end{matrix}

A helyzeti energia változása, vagyis az eredő munkavégzés:

\begin{matrix} Δ E_{h} = E_{h} (H_{p}) - E_{h_{1}} = 25 (2 H_{p}^{2} + 0, 04 - 0, 4 H_{p}) - 0, 5, \end{matrix}

azaz:

\begin{matrix} Δ E_{h} = E_{h} (H_{p}) - E_{h_{1}} = 50 H_{p}^{2} - 10 H_{p} + 0, 5. \end{matrix}

A fenti képletben a

H_{p}

magasságot méterben kell érteni, és az energiaváltozást joule-ban kapjuk.