Feladat: B.4104 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Angyal Levente ,  Török Csaba 
Füzet: 2009/március, 158 - 159. oldal  PDF file
Témakör(ök): Műveletek polinomokkal, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/szeptember: B.4104

Keressünk olyan a, b, c számokat, amelyekre minden pozitív egész n esetén teljesül az
(n+3)2=a(n+2)2+b(n+1)2+cn2
egyenlőség.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bontsuk fel mindkét oldalon a zárójeleket:

n2+6n+9=(a+b+c)n2+(4a+2b)n+(4a+b).

Biztosan egyenlő lesz az egyenlet bal és jobb oldala, ha n megfelelő hatványainak együtthatói egyenlőek:
a+b+c=1,(1)4a+2b=6,(2)4a+b=9.(3)

A (2) egyenletből a (3)-at kivonva kapjuk, hogy b=-3. Innen pedig már könnyen adódik, hogy a=3 és c=1.
Tehát a=3, b=-3, c=1 esetén mindig teljesül az egyenlőség.

 
Megjegyzés. Hogy van-e még megfelelő számhármas, az ebből a megoldásból nem derül ki, de nem is volt kérdés.
 
A rendezés után másképp is folytatható a megoldás:
 
II. megoldás. Ha két polinom értéke végtelen sok helyen egyenlő (pl. esetünkben a pozitív egész számokon), akkor minden valós n-re egyenlő. Két polinom értéke akkor és csak akkor egyezik meg a változó minden valós értékére, ha a két polinom együtthatónként megegyezik. Innen az I. megoldáshoz hasonló módon kapjuk, hogy a=3, b=-3 és c=1. Erre (és csak erre) a számhármasra minden valós, és így minden pozitív egész n-re is egyenlő a két polinom.
 
Megjegyzés. Amennyiben nem volt utalás arra, hogy az I. vagy a II. megoldással dolgozik-e a megoldó, akkor a II. szerint értékeltük. Ilyen hiány miatt keletkezett a legtöbb 2 pontos dolgozat.
 
III. megoldás. Ha az egyenlőség a keresett a, b, c értékek esetén minden pozitív egész n-re teljesül, akkor teljesül az n=1, n=2 és n=3 esetén is:
16=9a+4b+c,(1)25=16a+9b+4c,(2)36=25a+16b+9c.(3)
Az (1) egyenletből c-t kifejezve: c=16-9a-4b. Ezt (2)-be helyettesítve, majd a-ra rendezve: a=-0,35b+1,95. Ezt visszaírva (1)-be: c=-1,55-0,85b. Az a-ra és c-re kapott két kifejezést (3)-ba beírva, majd az egyenletet rendezve kapjuk, hogy b=-3. Ebből a=3 és c=1.
Azt kaptuk, hogy ha van megoldása a feladatnak, az csak ez a számhármas lehet. Azt, hogy egy valóban minden n-re érvényes azonosságot kaptunk, ellenőrizni kell. Írjuk be ezeket az értékeket az eredeti egyenletbe:
(n+3)2=3(n+2)2-3(n+1)2+n2.
Az egyenlet bal és jobb oldala is a következő kifejezéssel egyenlő: n2+6n+9, tehát valóban azonosság.
 
Megjegyzés. 1. A III. megoldás menetét követők közül sokan elfeledkeztek az ellenőrzésről, ők 2 pontot kaptak.
2. A megadott képlet a pozitív egész számok négyzetének sorozatára ad egy harmadrendű rekurziót.