Kezdőlap


Feladat:	B.4104	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal Levente , Török Csaba
Füzet:	2009/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/szeptember: B.4104

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bontsuk fel mindkét oldalon a zárójeleket:

\begin{matrix} n^{2} + 6 n + 9 = (a + b + c) n^{2} + (4 a + 2 b) n + (4 a + b) . \end{matrix}

Biztosan egyenlő lesz az egyenlet bal és jobb oldala, ha

n

megfelelő hatványainak együtthatói egyenlőek:

\begin{matrix} a + b + c & = 1, & (1) \\ 4 a + 2 b & = 6, & (2) \\ 4 a + b & = 9. & (3) \end{matrix}

A (2) egyenletből a (3)-at kivonva kapjuk, hogy

b = - 3

. Innen pedig már könnyen adódik, hogy

a = 3

és

c = 1

.
Tehát

a = 3

b = - 3

c = 1

esetén mindig teljesül az egyenlőség.

Megjegyzés. Hogy van-e még megfelelő számhármas, az ebből a megoldásból nem derül ki, de nem is volt kérdés.

A rendezés után másképp is folytatható a megoldás:

II. megoldás. Ha két polinom értéke végtelen sok helyen egyenlő (pl. esetünkben a pozitív egész számokon), akkor minden valós

n

-re egyenlő. Két polinom értéke akkor és csak akkor egyezik meg a változó minden valós értékére, ha a két polinom együtthatónként megegyezik. Innen az I. megoldáshoz hasonló módon kapjuk, hogy

a = 3

b = - 3

és

c = 1

. Erre (és csak erre) a számhármasra minden valós, és így minden pozitív egész

n

-re is egyenlő a két polinom.

Megjegyzés. Amennyiben nem volt utalás arra, hogy az I. vagy a II. megoldással dolgozik-e a megoldó, akkor a II. szerint értékeltük. Ilyen hiány miatt keletkezett a legtöbb 2 pontos dolgozat.

III. megoldás. Ha az egyenlőség a keresett

a

b

c

értékek esetén minden pozitív egész

n

-re teljesül, akkor teljesül az

n = 1

n = 2

és

n = 3

esetén is:

\begin{matrix} 16 & = 9 a + 4 b + c, & (1) \\ 25 & = 16 a + 9 b + 4 c, & (2) \\ 36 & = 25 a + 16 b + 9 c . & (3) \end{matrix}

Az (1) egyenletből

c

-t kifejezve:

c = 16 - 9 a - 4 b

. Ezt (2)-be helyettesítve, majd

a

-ra rendezve:

a = - 0, 35 b + 1, 95

. Ezt visszaírva (1)-be:

c = - 1, 55 - 0, 85 b

. Az

a

-ra és

c

-re kapott két kifejezést (3)-ba beírva, majd az egyenletet rendezve kapjuk, hogy

b = - 3

. Ebből

a = 3

és

c = 1

.
Azt kaptuk, hogy ha van megoldása a feladatnak, az csak ez a számhármas lehet. Azt, hogy egy valóban minden

n

-re érvényes azonosságot kaptunk, ellenőrizni kell. Írjuk be ezeket az értékeket az eredeti egyenletbe:

\begin{matrix} {(n + 3)}^{2} = 3 {(n + 2)}^{2} - 3 {(n + 1)}^{2} + n^{2} . \end{matrix}

Az egyenlet bal és jobb oldala is a következő kifejezéssel egyenlő:

n^{2} + 6 n + 9

, tehát valóban azonosság.

Megjegyzés. 1. A III. megoldás menetét követők közül sokan elfeledkeztek az ellenőrzésről, ők 2 pontot kaptak.
2. A megadott képlet a pozitív egész számok négyzetének sorozatára ad egy harmadrendű rekurziót.