Kezdőlap


Feladat:	B.4101	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Gergely
Füzet:	2009/március, 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4101

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tetszőleges $a$ pozitív számra igaz, hogy $\sqrt[]{a^{2} + 1} < | a | + 1$ , hiszen négyzetre emelés után $a^{2} + 1 < a^{2} + 2 | a | + 1$ , ami nyilván igaz. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{a^{2} + 1}} > \frac{1}{| a | + 1} . \end{matrix}

Mivel a bizonyítandó egyenlőtlenségben az

x

y

z

változók négyzete szerepel feltehető, hogy egyik sem negatív. Ennek segítségével alulról becsülhetjük a bal oldali kifejezést:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{x^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt[]{y^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt[]{z^{2} + 1}} > \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} . \end{matrix}

(1)

Megmutatjuk, hogy a csökkentett kifejezés értéke is legalább 1:

\begin{matrix} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} \geq 1. \end{matrix}

(2)

Minden nevező pozitív, ezért szorozhatunk a nevezőkkel:

\begin{matrix} (y + 1) (z + 1) + (x + 1) (z + 1) + (x + 1) (y + 1) \geq (x + 1) (y + 1) (z + 1), \end{matrix}

amit rendezve:

\begin{matrix} x + y + z + 2 \geq x y z . \end{matrix}

Mivel

x y z = 8

, ez éppen azt jelenti, hogy

\begin{matrix} x + y + z \geq 6. \end{matrix}

A számtani-mértani egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{x y z} = 2. \end{matrix}

Tehát ekvivalens átalakításokkal a számtani-mértani közép közti egyenlőtlenséget kaptuk meg, amiről tudjuk, hogy igaz, és ezzel bebizonyítottuk az (2) egyenlőtlenséget. Az (1) egyenlőtlenség miatt ebből pedig már következik a feladat állítása.