Feladat: B.4101 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács Gergely 
Füzet: 2009/március, 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: B.4101

Bizonyítsuk be, hogy ha xyz=8, akkor
1x2+1+1y2+1+1z2+1>1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tetszőleges a pozitív számra igaz, hogy a2+1<|a|+1, hiszen négyzetre emelés után a2+1<a2+2|a|+1, ami nyilván igaz. Ebből következik, hogy

1a2+1>1|a|+1.
Mivel a bizonyítandó egyenlőtlenségben az x, y, z változók négyzete szerepel feltehető, hogy egyik sem negatív. Ennek segítségével alulról becsülhetjük a bal oldali kifejezést:
1x2+1+1y2+1+1z2+1>1x+1+1y+1+1z+1.(1)
Megmutatjuk, hogy a csökkentett kifejezés értéke is legalább 1:
1x+1+1y+1+1z+11.(2)

Minden nevező pozitív, ezért szorozhatunk a nevezőkkel:
(y+1)(z+1)+(x+1)(z+1)+(x+1)(y+1)(x+1)(y+1)(z+1),
amit rendezve:
x+y+z+2xyz.
Mivel xyz=8, ez éppen azt jelenti, hogy
x+y+z6.
A számtani-mértani egyenlőtlenség szerint
x+y+z3xyz3=2.

Tehát ekvivalens átalakításokkal a számtani-mértani közép közti egyenlőtlenséget kaptuk meg, amiről tudjuk, hogy igaz, és ezzel bebizonyítottuk az (2) egyenlőtlenséget. Az (1) egyenlőtlenség miatt ebből pedig már következik a feladat állítása.