Kezdőlap


Feladat:	B.3957	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Gábor András , Balla Attila , Bartha Zsolt , Bujtás László , Dinh Van Anh , Éles András , Fonyó Dávid , Kis-Benedek Ágnes , Kriván Bálint , Kunos Ádám , Mészáros András , Nagy Dániel , Németh Kitti Noémi , Peregi Tamás , Rózsa Levente , Szalkai Balázs , Szigetvári Áron , Szűcs Gergely , Ta Phuong Linh , Vincze Ákos , Wagner Zsolt
Füzet:	2009/március, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Beírt kör, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: B.3957

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Abból a tételből, hogy adott körhöz adott külső pontból két egyenlő hosszúságú érintő húzható belátható, hogy tetszőleges $A B C$ háromszög beírt köre az $A$ csúcstól $\frac{A B + C A - B C}{2}$ távolságban érinti a háromszög $A B$ , illetve $A C$ oldalát.

Így az

A B C

háromszögben kifejezhetjük az

A P

szakaszt:

\begin{matrix} A P = \frac{A B + C A - B C}{2} . \end{matrix}

Mivel az

A

D

és

P

pontok egy egyenesen vannak, valamint az

A

pont nem választja el egymástól a

D

és a

P

pontokat, azért

\begin{matrix} D P = | A P - A D | = | \frac{A B + C A - B C}{2} - A D | . \end{matrix}

Ugyanígy megkaphatjuk az

A D C

háromszögből a

D Q

szakasz, illetve a

D B C

háromszögből a

D R

szakasz hosszát:

\begin{matrix} D Q = \frac{D C + A D - C A}{2} és D R = \frac{D B + C D - B C}{2} . \end{matrix}

Mivel a

D

R

és

Q

pontok egy egyenesre esnek, valamint a

D

pont nem választja el egymástól az

R

és a

Q

pontokat,

\begin{matrix} Q R & = | D R - D Q | = | \frac{D B + C D - B C}{2} - \frac{D C + A D - C A}{2} | = \\ = | \frac{A D + D B + C A - B C}{2} - A D | = | \frac{A B + C A - B C}{2} - A D | . \end{matrix}

Látható, hogy

\begin{matrix} D P = Q R = | \frac{A B + C A - B C}{2} - A D |, \end{matrix}

tehát

D P = Q R

Megjegyzés. A versenyzők többsége megfeledkezett a diszkusszióról. Attól függően, hogy a pontok sorrendje

A

D

P

B

vagy

A

P

D

B

, az

A D - A P

kifejezés negatív értéket is adhat, de csak az egyik eset ábrája alapján dolgoztak. Páran kiküszöbölték a problémát abszolútérték használatával, vagy esetekre bontással ‐ ők kaphatták meg a 3 pontot a megoldásukra.