Feladat: B.3957 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Balla Attila ,  Bartha Zsolt ,  Bujtás László ,  Dinh Van Anh ,  Éles András ,  Fonyó Dávid ,  Kis-Benedek Ágnes ,  Kriván Bálint ,  Kunos Ádám ,  Mészáros András ,  Nagy Dániel ,  Németh Kitti Noémi ,  Peregi Tamás ,  Rózsa Levente ,  Szalkai Balázs ,  Szigetvári Áron ,  Szűcs Gergely ,  Ta Phuong Linh ,  Vincze Ákos ,  Wagner Zsolt 
Füzet: 2009/március, 152 - 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Beírt kör, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/december: B.3957

Az ABC háromszög AB oldalának egy belső pontja D. Az ABC háromszög beírt köre az AB oldalt a P pontban érinti, az ADC és a DBC háromszögek beírt körei Q-ban, illetve R-ben érintik a DC oldalt.
Mutassuk meg, hogy DP=QR.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Abból a tételből, hogy adott körhöz adott külső pontból két egyenlő hosszúságú érintő húzható belátható, hogy tetszőleges ABC háromszög beírt köre az A csúcstól AB+CA-BC2 távolságban érinti a háromszög AB, illetve AC oldalát.

 
 

Így az ABC háromszögben kifejezhetjük az AP szakaszt:
AP=AB+CA-BC2.
Mivel az A, D és P pontok egy egyenesen vannak, valamint az A pont nem választja el egymástól a D és a P pontokat, azért
DP=|AP-AD|=|AB+CA-BC2-AD|.
Ugyanígy megkaphatjuk az ADC háromszögből a DQ szakasz, illetve a DBC háromszögből a DR szakasz hosszát:
DQ=DC+AD-CA2ésDR=DB+CD-BC2.
Mivel a D, R és Q pontok egy egyenesre esnek, valamint a D pont nem választja el egymástól az R és a Q pontokat,
QR=|DR-DQ|=|DB+CD-BC2-DC+AD-CA2|==|AD+DB+CA-BC2-AD|=|AB+CA-BC2-AD|.
Látható, hogy
DP=QR=|AB+CA-BC2-AD|,
tehát DP=QR.
 
Megjegyzés. A versenyzők többsége megfeledkezett a diszkusszióról. Attól függően, hogy a pontok sorrendje A, D, P, B vagy A, P, D, B, az AD-AP kifejezés negatív értéket is adhat, de csak az egyik eset ábrája alapján dolgoztak. Páran kiküszöbölték a problémát abszolútérték használatával, vagy esetekre bontással ‐ ők kaphatták meg a 3 pontot a megoldásukra.