Feladat: C.931 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szakács Enikő 
Füzet: 2009/március, 149. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: C.931

Adjuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyekből a szám jegyeinek összegét kivonva 2007-et kapunk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a szám: a1a2...an¯. Ekkor a feladat szövege szerint:

a1a2...an¯-(a1+a2+...+an)=2007,azaza1(10n-1-1)+a2(10n-2-1)+...+an-1(10-1)=2007.
Mivel az összeg mindegyik tagja nemnegatív, egyik tag sem lehet nagyobb 2007-nél. Így a1(10n-1-1)2007-nek is teljesülni kell, amiből 10n20070a1+10 következik. Mivel a11, azért
20070a1+1020080,
tehát 10n20080-nak is teljesülnie kell. Ezért n4. Azonban n>3, mert ha egy háromjegyű számból kivonjuk a jegyeinek összegét, akkor az eredmény legfeljebb háromjegyű lesz, mindenképpen kisebb, mint 2007.
Tehát n=4, vagyis a1a2a3a4¯-(a1+a2+a3+a4)=2007,
999a1+99a2+9a3=2007,111a1+11a2+a3=223.
Látható, hogy a12, mert ha a1>2, akkor az összeg legalább 333, tehát 223-nál nagyobb lenne.
I. eset: a1=2. Ekkor 222+11a2+a3=223, 11a2+a3=1. Itt a2<1, hiszen a21 esetén az összeg nagyobb mint 1.
Tehát a2=0, ekkor a3=1, a4{0,1,2,3,...,9} pedig tetszőleges.
II. eset: a1=1. Ekkor 111+11a2+a3=223, azaz 11a2+a3=112.
Mivel a29 és a39, azért 11a2+a3108. Tehát ebben az esetben nincs megoldás.
A keresett számok: 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.