Kezdőlap


Feladat:	C.931	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szakács Enikő
Füzet:	2009/március, 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: C.931

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a szám: $\bar{a_{1} a_{2} ... a_{n}}$ . Ekkor a feladat szövege szerint:

\begin{matrix} \bar{a_{1} a_{2} ... a_{n}} - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) & = 2007, azaz \\ a_{1} (10^{n - 1} - 1) + a_{2} (10^{n - 2} - 1) + ... + a_{n - 1} (10 - 1) & = 2007. \end{matrix}

Mivel az összeg mindegyik tagja nemnegatív, egyik tag sem lehet nagyobb 2007-nél. Így

a_{1} (10^{n - 1} - 1) \leq 2007

-nek is teljesülni kell, amiből

10^{n} \leq \frac{20 070}{a_{1}} + 10

következik. Mivel

a_{1} \geq 1

, azért

\begin{matrix} \frac{20 070}{a_{1}} + 10 \leq 20 080, \end{matrix}

tehát

10^{n} \leq 20 080

-nak is teljesülnie kell. Ezért

n \leq 4

. Azonban

n > 3

, mert ha egy háromjegyű számból kivonjuk a jegyeinek összegét, akkor az eredmény legfeljebb háromjegyű lesz, mindenképpen kisebb, mint 2007.
Tehát

n = 4

, vagyis

\bar{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} - (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) = 2007

\begin{matrix} \begin{matrix} 999 a_{1} + & 99 a_{2} + & 9 a_{3} & = 2007, \\ 111 a_{1} + & 11 a_{2} + & a_{3} & = 223. \end{matrix} \end{matrix}

Látható, hogy

a_{1} \leq 2

, mert ha

a_{1} > 2

, akkor az összeg legalább 333, tehát 223-nál nagyobb lenne.
I. eset:

a_{1} = 2

. Ekkor

222 + 11 a_{2} + a_{3} = 223

11 a_{2} + a_{3} = 1

. Itt

a_{2} < 1

, hiszen

a_{2} \geq 1

esetén az összeg nagyobb mint 1.
Tehát

a_{2} = 0

, ekkor

a_{3} = 1

a_{4} \in {0,1,2,3, ...,9}

pedig tetszőleges.
II. eset:

a_{1} = 1

. Ekkor

111 + 11 a_{2} + a_{3} = 223

, azaz

11 a_{2} + a_{3} = 112

.
Mivel

a_{2} \leq 9

és

a_{3} \leq 9

, azért

11 a_{2} + a_{3} \leq 108

. Tehát ebben az esetben nincs megoldás.
A keresett számok: 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.