Kezdőlap


Feladat:	B.4094	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Aczél Gergely , Ágoston Tamás , Bálint Dániel , Bodor Bertalan , Csere Kálmán , Deák Zsolt , Éles András , Fonyó Dávid , Grósz Dániel , Kiss Melinda Flóra , Kiss Réka , Kovács Gergely , Lajos Mátyás , Márki Róbert , Mezei Márk , Nagy Miklós , Paripás Viktor , Perjési Gábor , Salát Zsófia , Tossenberger Anna , Tóth László Márton , Varga László , Vuchetich Bálint
Füzet:	2009/február, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: B.4094

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a kérdéses különbségek száma 2008, és 2007 számunk marad, célszerűnek látszik először mind a 2008 számot felváltva felírni ‐ például a legnagyobbal kezdve, utána a legkisebbel stb. Utána megnézzük, hogy így esetleg melyik különbség szerepel többször, és annak megfelelően próbálunk meg egy számot elhagyni.

\begin{matrix} 2008, 1, 2007, 2, 2006, ..., 1508, 501, 1507, 502, 1506, ..., 1006, 1003, 1005, 1004. \end{matrix}

A különbségek sorozata:

\begin{matrix} 2007, 2006,,2005, ..., 1007, 1006, 1005, 1004, ..., 3, 2, 1, 1004. \end{matrix}

Ekkor az 1004 szerepel különbségként kétszer. Ez pl. az 502 és az 1506 különbsége. Hagyjuk el az 502-t. Ekkor a sorozat:

\begin{matrix} 2008, 1, 2007, 2, 2006, ..., 1508, 501, 1507, 503, 1506, ..., 1003, 1006, 1004, 1005. \end{matrix}

a különbségek pedig:

\begin{matrix} 2007, 2006,,2005, 2004, ..., 1007, 1006, 1004, 1003, ..., 3, 2, 1, 1003. \end{matrix}

Látható, hogy az 1003 kétszer szerepel, tehát ez nem jó.
Az 1506-ot elhagyva a sorozat:

\begin{matrix} 2008, 1, 2007, 2, 2006, ..., 1507, 502, 1505, 503, 1504, ..., 1005, 1003, 1004. \end{matrix}

a különbségek sorozata:

\begin{matrix} 2007, 2006,,2005, 2004, ..., 1005, 1003, 1002, 1001, ..., 2, 1, 1004. \end{matrix}

Ez tehát megfelelő.

Megjegyzések. 1. Sok megoldó ugyanebből a sorozatból az 503-at hagyta el, ami szintén jó megoldás.
2. Ha a sorozatot nem 2008-cal, hanem 1-gyel kezdjük, hasonlóan megkaphatjuk, hogy 503-at elhagyva megfelelő sorozathoz jutunk. Ekkor is jó megoldást kapunk az 1506 elhagyásával is.