Feladat: B.4094 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Aczél Gergely ,  Ágoston Tamás ,  Bálint Dániel ,  Bodor Bertalan ,  Csere Kálmán ,  Deák Zsolt ,  Éles András ,  Fonyó Dávid ,  Grósz Dániel ,  Kiss Melinda Flóra ,  Kiss Réka ,  Kovács Gergely ,  Lajos Mátyás ,  Márki Róbert ,  Mezei Márk ,  Nagy Miklós ,  Paripás Viktor ,  Perjési Gábor ,  Salát Zsófia ,  Tossenberger Anna ,  Tóth László Márton ,  Varga László ,  Vuchetich Bálint 
Füzet: 2009/február, 96 - 97. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: B.4094

Ki tudunk-e hagyni úgy egyet az 1,2,...,2008 számok közül, hogy a fennmaradó 2007 darab számnak legyen olyan a1,a2,...,a2007 sorrendje, amelyben az |a1-a2|,|a2-a3|,...,|a2006-a2007|,|a2007-a1| eltérések mind különbözőek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a kérdéses különbségek száma 2008, és 2007 számunk marad, célszerűnek látszik először mind a 2008 számot felváltva felírni ‐ például a legnagyobbal kezdve, utána a legkisebbel stb. Utána megnézzük, hogy így esetleg melyik különbség szerepel többször, és annak megfelelően próbálunk meg egy számot elhagyni.

2008,1,2007,2,2006,...,1508,501,1507,502,1506,...,1006,1003,1005,1004.
A különbségek sorozata:
2007,2006,,2005,...,1007,1006,1005,1004,...,3,2,1,1004.

Ekkor az 1004 szerepel különbségként kétszer. Ez pl. az 502 és az 1506 különbsége. Hagyjuk el az 502-t. Ekkor a sorozat:
2008,1,2007,2,2006,...,1508,501,1507,503,1506,...,1003,1006,1004,1005.
a különbségek pedig:
2007,2006,,2005,2004,...,1007,1006,1004,1003,...,3,2,1,1003.
Látható, hogy az 1003 kétszer szerepel, tehát ez nem jó.
Az 1506-ot elhagyva a sorozat:
2008,1,2007,2,2006,...,1507,502,1505,503,1504,...,1005,1003,1004.
a különbségek sorozata:
2007,2006,,2005,2004,...,1005,1003,1002,1001,...,2,1,1004.
Ez tehát megfelelő.
 
Megjegyzések. 1. Sok megoldó ugyanebből a sorozatból az 503-at hagyta el, ami szintén jó megoldás.
2. Ha a sorozatot nem 2008-cal, hanem 1-gyel kezdjük, hasonlóan megkaphatjuk, hogy 503-at elhagyva megfelelő sorozathoz jutunk. Ekkor is jó megoldást kapunk az 1506 elhagyásával is.