Feladat: B.4056 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Csere Kálmán ,  Fonyó Dávid ,  Frankl Nóra ,  Gyurcsik Judit ,  Kiss Melinda Flóra ,  Lovas Lia Izabella ,  Müller Márk ,  Perjési Gábor ,  Salát Zsófia ,  Somogyi Ákos ,  Szalai Zsófia ,  Szalkai Balázs ,  Tossenberger Anna ,  Véges Márton ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2009/február, 93 - 94. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Körülírt kör, Magasságpont, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/január: B.4056

Egy hegyesszögű háromszög magasságpontja M, körülírt körének középpontja O, oldalai a<b<c. A c oldal egyenese, a b oldalhoz tartozó magasság és az MO egyenes az eredeti háromszöghöz hasonló, fordított körüljárású háromszöget határoz meg. Mekkorák a háromszög szögei?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög szögei legyenek a szokásos módon α, β, γ. Jelölje az a, b és c oldalhoz tartozó magasság talppontját rendre AT, BT és CT, az M csúcsnak a c oldalra vonatkozó tükörképét M', végül az MO félegyenesnek a c oldallal, illetve az AM' szakasszal való metszéspontját rendre P és Q.

 
 

A feladatbeli ,,kis'' háromszög a BMP háromszög.
Mivel ABM<β, azért ez a szög csak α lehet. Így MPB=β és PMB=γ.
A tükrözés miatt
MA=M'A.(1)
Ismert, hogy a magasságpontot a háromszög oldalára tükrözve a körülírt kör egy pontjához jutunk: AM'C=ABC=β és BM'C=BAC=α.
Mivel
QMM'=PMCT=180-(MPCT+MCTP)==180-(β+90)=90-β
és így
M'QM=180-(QMM'+QM'M)=180-((90-β)+β)=90,
azért OQAM'. Ebből következik, hogy MQ az AM' szakasz felező merőlegese, vagyis
AM=MM'.(2)

(1) és (2) együtt azt jelenti, hogy MA=M'A=MM', tehát az AMM' háromszög szabályos, és így AM'M=β=60.
Tudjuk még, hogy α=BM'C=BMM', tehát a BMCT háromszög szögeinek összege 2α+90, ahonnan α=45. Ebből pedig γ=75.
A háromszög szögei: α=45, β=60 és γ=75.