Feladat: B.4056 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Csere Kálmán ,  Fonyó Dávid ,  Frankl Nóra ,  Gyurcsik Judit ,  Kiss Melinda Flóra ,  Lovas Lia Izabella ,  Müller Márk ,  Perjési Gábor ,  Salát Zsófia ,  Somogyi Ákos ,  Szalai Zsófia ,  Szalkai Balázs ,  Tossenberger Anna ,  Véges Márton ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2009/február, 93 - 94. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Körülírt kör, Magasságpont, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/január: B.4056

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög szögei legyenek a szokásos módon α, β, γ. Jelölje az a, b és c oldalhoz tartozó magasság talppontját rendre AT, BT és CT, az M csúcsnak a c oldalra vonatkozó tükörképét M', végül az MO félegyenesnek a c oldallal, illetve az AM' szakasszal való metszéspontját rendre P és Q.

 
 

A feladatbeli ,,kis'' háromszög a BMP háromszög.
Mivel ABM∢<β, azért ez a szög csak α lehet. Így MPB∢=β és PMB∢=γ.
A tükrözés miatt
MA=M'A.(1)
Ismert, hogy a magasságpontot a háromszög oldalára tükrözve a körülírt kör egy pontjához jutunk: AM'C∢=ABC∢=β és BM'C∢=BAC∢=α.
Mivel
QMM'∢=PMCT∢=180∘-(MPCT∢+MCTP∢)==180∘-(β+90∘)=90∘-β
és így
M'QM∢=180∘-(QMM'∢+QM'M∢)=180∘-((90∘-β)+β)=90∘,
azért OQ⊥AM'. Ebből következik, hogy MQ az AM' szakasz felező merőlegese, vagyis
AM=MM'.(2)

(1) és (2) együtt azt jelenti, hogy MA=M'A=MM', tehát az AMM' háromszög szabályos, és így AM'M∢=β=60∘.
Tudjuk még, hogy α=BM'C∢=BMM', tehát a BMCT háromszög szögeinek összege 2α+90∘, ahonnan α=45∘. Ebből pedig γ=75∘.
A háromszög szögei: α=45∘, β=60∘ és γ=75∘.