Feladat: 4069. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Berta Katalin ,  Blázsik Zoltán ,  Bodosi Eszter ,  Dein Zsolt ,  Deli Gábor ,  Filep Tibor ,  Fonyó Dávid ,  Földes Imre ,  Iván Dávid ,  Krämer Zsolt ,  Kupcsik Réka ,  Lovas Lia Izabella ,  Maknics András ,  Marák Károly ,  Márkus Bence Gábor ,  Nagy Donát ,  Para Attila ,  Rárósi Dávid ,  Szolnoki Lénárd ,  Tamási Mátyás ,  Tolner Ferenc ,  Varga Ádám 
Füzet: 2009/január, 56 - 58. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hajítások, Gravitációs helyzeti energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/április: 4069. fizika feladat

Az ábra egy függőleges síkban elhelyezkedő, körív alakban meghajlított vályút mutat. Egy kis testet az A pontból úgy indítunk el függőlegesen lefelé, hogy az a vályún a B pontig végigcsúszik, majd a B pontnál elrepülve éppen az A pontba esik vissza. Legfeljebb mekkora lehet a β szög? (A légellenállás elhanyagolható.)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a test B pontbeli sebességét v-vel, a körív sugarát R-rel, a B és A pontok közötti ferde hajítás repülésének idejét pedig t-vel (1. ábra)!

 
 

1. ábra
 

A mozgás vízszintes és függőleges összetevőire felírható összefüggések:
vtsinβ=R(1+cosβ),(1)g2t2-vtcosβ=Rsinβ.(2)


Ezekből t-t kiküszöbölve a hajítás kezdősebessége és a β szög közti alábbi összefüggést kapjuk:
v2=gR(1+cosβ)2sinβ.(3)

Ha megfelelő kezdősebességgel indítjuk el a testet az A pontból, a B pontba érve éppen (3)-nak megfelelő sebessége lesz, onnan a szaggatott vonallal jelölt parabolapályán továbbrepülve éppen az A pontba esik vissza. Kérdéses azonban, hogy valóban eljut-e a vályúban csúszva a B pontig, vagy esetleg már korábban leesik a vályú alulról homorú szakaszának valamelyik pontjánál.
 
 

2. ábra
 

Számítsuk ki, hogy mekkora N nyomóerőt fejt ki a vályú a csúszó testre közvetlenül a B pont elérése előtt! A 2. ábra jelöléseit használva a Newton-féle mozgásegyenlet sugár irányú komponense így írható:
mgsinβ+N=mv2R,
ahonnan
N=mv2R-mgsinβ0.(4)
Az egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy a vályú csak nyomóerőt tud kifejteni, N<0-nak megfelelő húzóerőt nem. Felhasználva (3)-t (4) így írható:
N=mg(v2Rg-sinβ)=mg(1+cosβ2sinβ-sinβ)==mg(1+cosβ2sinβ-1-cos2βsinβ)=mg(1+cosβ)sinβ[12-(1-cosβ)]0.
A szögletes zárójel előtt álló kifejezés a számunkra érdekes 0<β<180 tartományban pozitív, így az egyenlőtlenség
12-(1-cosβ)=cosβ-120,azazβ60
esetén teljesül.
Könnyen belátható, hogy ha a vályú B végpontjában N0, akkor a pálya többi pontjában sem lehet N negatív, tehát nem válhat el a kis test a vályútól. Ha ugyanis a (4)-nek megfelelő mozgásegyenletet egy α<β szöghöz tartozó pontra írjuk fel, és kihasználjuk, hogy az ottani v' sebesség az energiatétel szerint v-nél nagyobb, a nyomóerőre ott is
N'=mv'2R-mgsinα>mv2R-mgsinβ0
adódik.