Kezdőlap


Feladat:	4069. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor András , Berta Katalin , Blázsik Zoltán , Bodosi Eszter , Dein Zsolt , Deli Gábor , Filep Tibor , Fonyó Dávid , Földes Imre , Iván Dávid , Krämer Zsolt , Kupcsik Réka , Lovas Lia Izabella , Maknics András , Marák Károly , Márkus Bence Gábor , Nagy Donát , Para Attila , Rárósi Dávid , Szolnoki Lénárd , Tamási Mátyás , Tolner Ferenc , Varga Ádám
Füzet:	2009/január, 56 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Gravitációs helyzeti energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: 4069. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a test $B$ pontbeli sebességét $v$ -vel, a körív sugarát $R$ -rel, a $B$ és $A$ pontok közötti ferde hajítás repülésének idejét pedig $t$ -vel (1. ábra)!

1. ábra

A mozgás vízszintes és függőleges összetevőire felírható összefüggések:

\begin{matrix} v t sin β = R (1 + cos β), & (1) \\ \frac{g}{2} t^{2} - v t cos β = R sin β . & (2) \end{matrix}

Ezekből

t

-t kiküszöbölve a hajítás kezdősebessége és a

β

szög közti alábbi összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} v^{2} = \frac{g R (1 + cos β)}{2 sin β} . \end{matrix}

(3)

Ha megfelelő kezdősebességgel indítjuk el a testet az

A

pontból, a

B

pontba érve éppen (3)-nak megfelelő sebessége lesz, onnan a szaggatott vonallal jelölt parabolapályán továbbrepülve éppen az

A

pontba esik vissza. Kérdéses azonban, hogy valóban eljut-e a vályúban csúszva a

B

pontig, vagy esetleg már korábban leesik a vályú alulról homorú szakaszának valamelyik pontjánál.

2. ábra

Számítsuk ki, hogy mekkora

N

nyomóerőt fejt ki a vályú a csúszó testre közvetlenül a

B

pont elérése előtt! A 2. ábra jelöléseit használva a Newton-féle mozgásegyenlet sugár irányú komponense így írható:

\begin{matrix} m g sin β + N = m \frac{v^{2}}{R}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} N = m \frac{v^{2}}{R} - m g sin β \geq 0. \end{matrix}

(4)

Az egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy a vályú csak nyomóerőt tud kifejteni,

N < 0

-nak megfelelő húzóerőt nem. Felhasználva (3)-t (4) így írható:

\begin{matrix} N & = m g (\frac{v^{2}}{R g} - sin β) = m g (\frac{1 + cos β}{2 sin β} - sin β) = \\ = m g (\frac{1 + cos β}{2 sin β} - \frac{1 - cos^{2} β}{sin β}) = \frac{m g (1 + cos β)}{sin β} [\frac{1}{2} - (1 - cos β)] \geq 0. \end{matrix}

A szögletes zárójel előtt álló kifejezés a számunkra érdekes

0 < β < 180^{\circ}

tartományban pozitív, így az egyenlőtlenség

\begin{matrix} \frac{1}{2} - (1 - cos β) = cos β - \frac{1}{2} \geq 0, azaz β \leq 60^{\circ} \end{matrix}

esetén teljesül.
Könnyen belátható, hogy ha a vályú

B

végpontjában

N \geq 0

, akkor a pálya többi pontjában sem lehet

N

negatív, tehát nem válhat el a kis test a vályútól. Ha ugyanis a (4)-nek megfelelő mozgásegyenletet egy

α < β

szöghöz tartozó pontra írjuk fel, és kihasználjuk, hogy az ottani

v'

sebesség az energiatétel szerint

v

-nél nagyobb, a nyomóerőre ott is

\begin{matrix} N' = m \frac{v'^{2}}{R} - m g sin α > m \frac{v^{2}}{R} - m g sin β \geq 0 \end{matrix}

adódik.