Feladat: 4061. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Balogh Gábor ,  Berta Katalin ,  Borbély Adrienn ,  Czeller Ildikó ,  Deák Zsolt ,  Filep Tibor ,  Fonyó Dávid ,  Hartstein Máté ,  Hlatky Dávid ,  Hofecker Andor ,  Kalina Kende ,  Kalina Kende ,  Kovács András ,  Krämer Zsolt ,  Lászlóffy András ,  Lenger Dániel ,  Lovas Lia Izabella ,  Marák Károly ,  Molnár Anikó ,  Nagy Krisztina ,  Papp Ádám ,  Paripás Viktor ,  Rárósi Dávid ,  Szolnoki Lénárd ,  Túri Attila ,  Varga Ádám ,  Vuchetich Bálint ,  Zsolczai Viktor 
Füzet: 2009/január, 53 - 54. oldal  PDF file
Témakör(ök): , Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: 4061. fizika feladat

Hogyan lehet 1 kg 0C-os gyógyvizet felmelegíteni 1 kg 100C-os vízzel legalább 60C-ra?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy van egy olyan két részes edényünk, amelynek egyik rekeszébe vizet, a másikba gyógyvizet tudunk önteni úgy, hogy nem keverednek össze, de a hőmérsékletük kiegyenlítődik. Feltételezzük, hogy hőcsere csak a két rekesz között történik, a környezetet nem melegítjük.
Amennyiben a ,,gyógyvíz'' és a ,,víz'' fajhőjét ugyanakkorának tekinthetjük, a kiegyenlítődött hőmérséklet az összetevők hőmérsékletének tömegükkel súlyozott számtani közepe lesz. Ha például M tömegű, (Celsius-fokban mérve) T0 hőmérsékletű gyógyvizet és m tömegű 100C-os vizet öntünk a rekeszekbe, a közös hőmérséklet

T1=MT0+m100M+m
lesz. (M=m=1 kg esetén 50C lenne a közös hőmérséklet, ez nem elegendő!)
Osszuk fel a 100C-os vizet 6 egyforma, 16 kg-os részre! A hőcserélő edény egyik rekeszébe öntsük a gyógyvizet, a másik felébe először 16 kg 100C-os vizet. A hőmérséklet kiegyenlítődése után a közös hőmérséklet a fenti képlet alapján számolva
T1=10+1610076=14,28C  
lesz. Öntsük most ki a lehűlt ,,vizet'', és töltsünk a helyére 16 kg 100C-os vizet! Hőcsere után
T2=114,28+1610076=26,53C  
közös hőmérséklet alakul ki. Az eljárást tovább ismételve a 6. hőcsere után a gyógyvíz hőmérséklete T6=60,34C, tehát a feladat kívánalmainak megfelelő lesz.
A feladatot általánosabban is tárgyalhatjuk. Ha nem 6, hanem tetszőleges n részre osztjuk a Tf hőmérsékletű ,,forróvizet'', és az egyes részeket egymás után termikus kapcsolatba hozzuk a kezdetben T0 hőmérsékletű hideg vízzel, akkor az első hőcsere után a kialakuló közös T1 hőmérsékletre a kalorimetrikus egyenlet így írható:
cm(T1-T0)=cmn(Tf-T1),ahonnanT1=Tf+nT0n+1.
A második hőcsere után kialakuló hőmérséklet
T2=Tf+nT1n+1=Tf(2n+1)+n2T0(n+1)2,
és így tovább. Az n-edik lépés végén
Tn=(n+1)n-1+n(n+1)n-2+...+nn-2(n+1)+nn-1(n+1)nTf+(nn+1)nT0.
A képletben felfedezhető egy mértani sor, amelynek összegképletét beírva a végső hőmérsékletre a
Tn=(1-(nn+1)n)Tf+(nn+1)nT0
eredményt kapjuk. (n=6-ra visszakapjuk a korábban kiszámított 60,34C-os értéket; n=5-nél viszont csak 59,8C, tehát 60 fok alatti érték adódik.)
 
Megjegyzés. Belátható, hogy n növelésével a végső hőmérséklet egyre nagyobb lesz, de tetszőlegesen nagy n-nél sem haladhatja meg a
T=(1-1e)Tf+1eT0
hőmérsékletet. Ez a határérték a feladatban szereplő számoknál 63,2C, tehát alig nagyobb, mint a már n=6 esetén is túllépett 60C.