Kezdőlap


Feladat:	4061. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor András , Balogh Gábor , Berta Katalin , Borbély Adrienn , Czeller Ildikó , Deák Zsolt , Filep Tibor , Fonyó Dávid , Hartstein Máté , Hlatky Dávid , Hofecker Andor , Kalina Kende , Kalina Kende , Kovács András , Krämer Zsolt , Lászlóffy András , Lenger Dániel , Lovas Lia Izabella , Marák Károly , Molnár Anikó , Nagy Krisztina , Papp Ádám , Paripás Viktor , Rárósi Dávid , Szolnoki Lénárd , Túri Attila , Varga Ádám , Vuchetich Bálint , Zsolczai Viktor
Füzet:	2009/január, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 4061. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy van egy olyan két részes edényünk, amelynek egyik rekeszébe vizet, a másikba gyógyvizet tudunk önteni úgy, hogy nem keverednek össze, de a hőmérsékletük kiegyenlítődik. Feltételezzük, hogy hőcsere csak a két rekesz között történik, a környezetet nem melegítjük.
Amennyiben a ,,gyógyvíz'' és a ,,víz'' fajhőjét ugyanakkorának tekinthetjük, a kiegyenlítődött hőmérséklet az összetevők hőmérsékletének tömegükkel súlyozott számtani közepe lesz. Ha például $M$ tömegű, (Celsius-fokban mérve) $T_{0}$ hőmérsékletű gyógyvizet és $m$ tömegű $100^{\circ} C$ -os vizet öntünk a rekeszekbe, a közös hőmérséklet

\begin{matrix} T_{1} = \frac{M \cdot T_{0} + m \cdot 100}{M + m} \end{matrix}

lesz. (

M = m = 1

kg esetén

50^{\circ}

C lenne a közös hőmérséklet, ez nem elegendő!)
Osszuk fel a

100^{\circ} C

-os vizet 6 egyforma,

\frac{1}{6}

kg-os részre! A hőcserélő edény egyik rekeszébe öntsük a gyógyvizet, a másik felébe először

\frac{1}{6}

100^{\circ} C

-os vizet. A hőmérséklet kiegyenlítődése után a közös hőmérséklet a fenti képlet alapján számolva

\begin{matrix} T_{1} = \frac{1 \cdot 0 + \frac{1}{6} \cdot 100}{\frac{7}{6}} = 14, 28^{\circ} C \end{matrix}

lesz. Öntsük most ki a lehűlt ,,vizet'', és töltsünk a helyére

\frac{1}{6}

100^{\circ} C

-os vizet! Hőcsere után

\begin{matrix} T_{2} = \frac{1 \cdot 14, 28 + \frac{1}{6} \cdot 100}{\frac{7}{6}} = 26, 53^{\circ} C \end{matrix}

közös hőmérséklet alakul ki. Az eljárást tovább ismételve a 6. hőcsere után a gyógyvíz hőmérséklete

T_{6} = 60, 34^{\circ} C

, tehát a feladat kívánalmainak megfelelő lesz.
A feladatot általánosabban is tárgyalhatjuk. Ha nem 6, hanem tetszőleges

n

részre osztjuk a

T_{f}

hőmérsékletű ,,forróvizet'', és az egyes részeket egymás után termikus kapcsolatba hozzuk a kezdetben

T_{0}

hőmérsékletű hideg vízzel, akkor az első hőcsere után a kialakuló közös

T_{1}

hőmérsékletre a kalorimetrikus egyenlet így írható:

\begin{matrix} c m (T_{1} - T_{0}) = c \frac{m}{n} (T_{f} - T_{1}), ahonnan T_{1} = \frac{T_{f} + n T_{0}}{n + 1} . \end{matrix}

A második hőcsere után kialakuló hőmérséklet

\begin{matrix} T_{2} = \frac{T_{f} + n T_{1}}{n + 1} = \frac{T_{f} (2 n + 1) + n^{2} T_{0}}{{(n + 1)}^{2}}, \end{matrix}

és így tovább. Az

n

-edik lépés végén

\begin{matrix} T_{n} = \frac{{(n + 1)}^{n - 1} + n {(n + 1)}^{n - 2} + ... + n^{n - 2} (n + 1) + n^{n - 1}}{{(n + 1)}^{n}} T_{f} + {(\frac{n}{n + 1})}^{n} T_{0} . \end{matrix}

A képletben felfedezhető egy mértani sor, amelynek összegképletét beírva a végső hőmérsékletre a

\begin{matrix} T_{n} = (1 - {(\frac{n}{n + 1})}^{n}) T_{f} + {(\frac{n}{n + 1})}^{n} T_{0} \end{matrix}

eredményt kapjuk. (

n = 6

-ra visszakapjuk a korábban kiszámított

60, 34^{\circ} C

-os értéket;

n = 5

-nél viszont csak

59, 8^{\circ} C

, tehát 60 fok alatti érték adódik.)

Megjegyzés. Belátható, hogy

n

növelésével a végső hőmérséklet egyre nagyobb lesz, de tetszőlegesen nagy

n

-nél sem haladhatja meg a

\begin{matrix} T_{\infty} = (1 - \frac{1}{e}) T_{f} + \frac{1}{e} T_{0} \end{matrix}

hőmérsékletet. Ez a határérték a feladatban szereplő számoknál

63, 2^{\circ} C

, tehát alig nagyobb, mint a már

n = 6

esetén is túllépett

60^{\circ} C