Feladat: 4060. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Béres Bertold ,  Berta Katalin ,  Fonyó Dávid ,  Földes Imre ,  Hartstein Máté ,  Hlatky Dávid ,  Iván Dávid ,  Kalina Kende ,  Kovács Gábor ,  Lőrincz Dóra ,  Lovas Lia Izabella ,  Nagy Donát ,  Pálovics Péter ,  Patonay Gergely ,  Tószegi Károly ,  Török Csaba 
Füzet: 2009/január, 51 - 53. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gördülés (Merev testek síkmozgása), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: 4060. fizika feladat

Az ábrán látható elrendezésben a korong tömege m=5 kg, sugara R=0,2 m, a kocsi tömege M=8 kg, hossza L=1 m. A kocsi könnyen gördül, a korong nem csúszik meg a kocsin. A koronghoz erősített (elhanyagolható tömegű) tárcsáról letekeredő fonál vízsztintes, a végéhez erősített nehezék tömege szintén m. Mennyi idő múlva esik le a korong a kocsiról, miután a kocsi közepénél kezdősebesség nélkül elengedtük, ha a tárcsa sugara r=R/2 ? Mennyit süllyedt ezalatt a nehezék?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a fonálban ható erőt K-val, a korong és a kocsi között ható súrlódási erőt S-sel, a nehezék gyorsulását a1-gyel, a korong tömegközéppontjának gyorsulását és szöggyorsulását a2-vel és β-val, a kocsi gyorsulását pedig a3-mal (lásd az ábrát)!

 
 

A következő egyenleteket írhatjuk fel:
mg-K=ma1,(1)K-S=ma2,(2)S=Ma3,(3)
ezek az egyes testek haladó (transzlációs) mozgására vonatkozó Newton-egyenletek;
Kr+SR=Θβ,(4)
ez a korong forgómozgásának egyenlete, Θ=12mR2 a korong és tárcsa együttes tehetetlenségi nyomatéka.
Ezekhez az egyenletekhez járul még két kényszerfeltétel; a fonál nyújthatatlanságát kifejező
a1=a2+rβ(5)
összefüggés, valamint annak megfogalmazása, hogy a korong legalsó pontja nem csúszik meg a kocsin:
a3=a2-Rβ.(6)

Ezekből az egyenletekből az ismert adatok felhasználásával

a1=6ms2,a2=4ms2,a3=0,S=0,K=20N,β=20s-2



adódik. Érdekes, hogy a korong és a kocsi között nem lép fel súrlódási erő (tehát a korong még akkor sem csúszna meg a kocsin, ha egyáltalán nem lenne súrlódás), és ennek megfelelően a kocsi egyáltalán nem jön mozgásba!
A korong valamekkora t idő alatt eléri a kocsi szélét, s leesik a kocsiról. Mivel a kocsi nem mozdul el, a korong tömegközéppontjának gyorsulása pedig a2, a leesésig eltelt időt az
a22t2=L2
egyenlet határozza meg. Innen
t=La2=0,5s,  
a nehezék süllyedése pedig
h=a12t2=0,75m.  
(A korong tömegközéppontja t idő alatt 0,5m-t mozdul el, az elforduló tárcsáról pedig 0,25m-nyi fonál tekeredik le.)