Kezdőlap


Feladat:	4060. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor András , Béres Bertold , Berta Katalin , Fonyó Dávid , Földes Imre , Hartstein Máté , Hlatky Dávid , Iván Dávid , Kalina Kende , Kovács Gábor , Lőrincz Dóra , Lovas Lia Izabella , Nagy Donát , Pálovics Péter , Patonay Gergely , Tószegi Károly , Török Csaba
Füzet:	2009/január, 51 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés (Merev testek síkmozgása), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 4060. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a fonálban ható erőt $K$ -val, a korong és a kocsi között ható súrlódási erőt $S$ -sel, a nehezék gyorsulását $a_{1}$ -gyel, a korong tömegközéppontjának gyorsulását és szöggyorsulását $a_{2}$ -vel és $β$ -val, a kocsi gyorsulását pedig $a_{3}$ -mal (lásd az ábrát)!

A következő egyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} m g - K & = m a_{1}, & (1) \\ K - S & = m a_{2}, & (2) \\ S & = M a_{3}, & (3) \end{matrix}

ezek az egyes testek haladó (transzlációs) mozgására vonatkozó Newton-egyenletek;

\begin{matrix} K r + S R = Θ β, \end{matrix}

(4)

ez a korong forgómozgásának egyenlete,

Θ = \frac{1}{2} m R^{2}

a korong és tárcsa együttes tehetetlenségi nyomatéka.
Ezekhez az egyenletekhez járul még két kényszerfeltétel; a fonál nyújthatatlanságát kifejező

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} + r β \end{matrix}

(5)

összefüggés, valamint annak megfogalmazása, hogy a korong legalsó pontja nem csúszik meg a kocsin:

\begin{matrix} a_{3} = a_{2} - R β . \end{matrix}

(6)

Ezekből az egyenletekből az ismert adatok felhasználásával

\begin{matrix} a_{1} = 6 {\frac{m}{s}}^{2}, a_{2} = 4 {\frac{m}{s}}^{2}, a_{3} = 0, \\ S = 0, K = 20 N, β = 20 s^{- 2} \end{matrix}

adódik. Érdekes, hogy a korong és a kocsi között nem lép fel súrlódási erő (tehát a korong még akkor sem csúszna meg a kocsin, ha egyáltalán nem lenne súrlódás), és ennek megfelelően a kocsi egyáltalán nem jön mozgásba!
A korong valamekkora

t

idő alatt eléri a kocsi szélét, s leesik a kocsiról. Mivel a kocsi nem mozdul el, a korong tömegközéppontjának gyorsulása pedig

a_{2}

, a leesésig eltelt időt az

\begin{matrix} \frac{a_{2}}{2} t^{2} = \frac{L}{2} \end{matrix}

egyenlet határozza meg. Innen

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{L}{a_{2}}} = 0, 5 s, \end{matrix}

a nehezék süllyedése pedig

\begin{matrix} h = \frac{a_{1}}{2} t^{2} = 0, 75 m. \end{matrix}

(A korong tömegközéppontja

t

idő alatt

0, 5 m

-t mozdul el, az elforduló tárcsáról pedig

0, 25 m

-nyi fonál tekeredik le.)