Feladat: 4059. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Varga Ádám 
Füzet: 2009/január, 50 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Newton-féle gravitációs erő, Kisbolygók, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: 4059. fizika feladat

A kis herceg (Antoine de Saint-Exupéry könyvének főhőse) a B-612 jelű, gömbszimmetrikus kisbolygón él, aminek áltagos sűrűsége 5200 kg/m3. Feltűnt a kis hercegnek, hogy ha szaporázza a lépteit, könnyebbnek érzi magát. Amikor sebessége elérte a 2 m/s-ot, egészen súlytalanná vált, és műholdként kezdett keringeni a kisbolygó körül.
a) Tegyük fel, hogy a kisbolygó nem forog! Mekkora a kisbolygó sugara?
b) Mekkora a szökési sebesség ezen a kisbolygón?
c) Tegyük fel, hogy a kisbolygó forog a tengelye körül és egy nap hossza 12 óra. Legalább mekkora sebességgel kell szaladnia a kis hercegnek ahhoz, hogy a kisbolygó körül keringésbe kezdjen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Egy R sugarú, ϱ átlagsűrűségű kisbolygó tömege:

M=Vϱ=4π3R3ϱ.
A kisbolygó felszínén v sebességgel mozgó, m tömegű kis herceg ,,súlytalanságának'' dinamikai feltétele az, hogy a gravitációs vonzóerő éppen biztosítani tudja az egyenletes körmozgást:
γMmR2=mva2R.
A fenti két összefüggésből kifejezhető a kisbolygó sugara:
R=3va24πγϱ=1,66km.  

b) A szökési sebesség az a legkisebb sebesség, amellyel haladó test ki tud jutni a kisbolygó ,,gravitációs kútjából''. Ez akkor teljesül, ha a test 12mvb2 mozgási energiájának és -γmMR gravitációs potenciális energiájának összege nagyobb, mint a nagyon messze (,,végtelen távol'') levő test nulla potenciális energiája:
12mvb2-γmMR0,
azaz
vb2γMR=83γπϱR2=2va=2,8ms.

c) A tengelye körül T idő alatt körbeforduló kisbolygó egyenlítőjén a kerületi sebesség:
vk=2πRT=0,24ms.
Ha a kis herceg az egyenlítő mentén vc sebességgel ,,kelet'' felé szalad, és fennáll, hogy vc+vk=va=2ms, akkor ,,súlytalanná'' válik, a kisbolygó körül keringeni kezd. Ez akkor következik be, ha
vc=va-vk=1,76ms.