Kezdőlap


Feladat:	4059. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Ádám
Füzet:	2009/január, 50 - 51. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Newton-féle gravitációs erő, Kisbolygók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 4059. fizika feladat

A kis herceg (Antoine de Saint-Exupéry könyvének főhőse) a B-612 jelű, gömbszimmetrikus kisbolygón él, aminek áltagos sűrűsége 5200 kg/m

^{3}

. Feltűnt a kis hercegnek, hogy ha szaporázza a lépteit, könnyebbnek érzi magát. Amikor sebessége elérte a 2 m/s-ot, egészen súlytalanná vált, és műholdként kezdett keringeni a kisbolygó körül.

a)

Tegyük fel, hogy a kisbolygó nem forog! Mekkora a kisbolygó sugara?

b)

Mekkora a szökési sebesség ezen a kisbolygón?

c)

Tegyük fel, hogy a kisbolygó forog a tengelye körül és egy nap hossza 12 óra. Legalább mekkora sebességgel kell szaladnia a kis hercegnek ahhoz, hogy a kisbolygó körül keringésbe kezdjen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Egy $R$ sugarú, $ϱ$ átlagsűrűségű kisbolygó tömege:

\begin{matrix} M = V ϱ = \frac{4 π}{3} R^{3} ϱ . \end{matrix}

A kisbolygó felszínén

v

sebességgel mozgó,

m

tömegű kis herceg ,,súlytalanságának'' dinamikai feltétele az, hogy a gravitációs vonzóerő éppen biztosítani tudja az egyenletes körmozgást:

\begin{matrix} γ \frac{M m}{R^{2}} = m \frac{v_{a}^{2}}{R} . \end{matrix}

A fenti két összefüggésből kifejezhető a kisbolygó sugara:

\begin{matrix} R = \sqrt[]{\frac{3 v_{a}^{2}}{4 π γ ϱ}} = 1, 66 km. \end{matrix}

b)

A szökési sebesség az a legkisebb sebesség, amellyel haladó test ki tud jutni a kisbolygó ,,gravitációs kútjából''. Ez akkor teljesül, ha a test

\frac{1}{2} m v_{b}^{2}

mozgási energiájának és

- γ \frac{m M}{R}

gravitációs potenciális energiájának összege nagyobb, mint a nagyon messze (,,végtelen távol'') levő test nulla potenciális energiája:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{b}^{2} - γ \frac{m M}{R} \geq 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} v_{b} \geq \sqrt[]{\frac{2 γ M}{R}} = \sqrt[]{\frac{8}{3} γ π ϱ R^{2}} = \sqrt[]{2} v_{a} = 2, 8 \frac{m}{s} . \end{matrix}

c)

A tengelye körül

T

idő alatt körbeforduló kisbolygó egyenlítőjén a kerületi sebesség:

\begin{matrix} v_{k} = \frac{2 π R}{T} = 0, 24 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Ha a kis herceg az egyenlítő mentén

v_{c}

sebességgel ,,kelet'' felé szalad, és fennáll, hogy

v_{c} + v_{k} = v_{a} = 2 \frac{m}{s}

, akkor ,,súlytalanná'' válik, a kisbolygó körül keringeni kezd. Ez akkor következik be, ha

\begin{matrix} v_{c} = v_{a} - v_{k} = 1, 76 \frac{m}{s} . \end{matrix}