Feladat: 3867. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Petrás András ,  Széchenyi Gábor 
Füzet: 2007/január, 46 - 47. oldal  PDF file
Témakör(ök): A (mechanikai) feszültség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: 3867. fizika feladat

Egyenletes sűrűségű, állandó keresztmetszetű, nyújthatatlan, függőlegesen lógó szál valamilyen L hosszúságnál a saját súlya alatt leszakad. Elképzelhető-e olyan alakú szál, amely akármilyen hosszú lehet, mégsem szakad el a saját súlya alatt?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Állandó keresztmetszet esetén L nem függ a szál A keresztmetszetétől, mert az ALϱg súlyú szál egységnyi felületén mindig ugyanakkora, Lϱg feszültség ébred (ϱ a szál anyagának sűrűsége).
Változó keresztmetszetű szál akkor nem szakad el, ha bármely keresztmetszete alatti részének a súlya kisebb, mint ALϱg. Megmutatjuk, hogy ez a feltétel tetszőleges hosszúságú (de véges össztömegű) szálrendszerrel teljesíthető, ha az egymáshoz erősített szálak keresztmetszete megfelelő módon változik.

 

 
1. ábra
 

Képzeljünk el egy A keresztmetszetű, l hosszúságú szálat, és legyen l<L/2. Ez a szál nyilván nem szakad el a saját súlya alatt. Erősítsünk most a szál alsó végéhez egy ugyancsak l hosszúságú, de csak 12A keresztmetszetű szálat, majd ahhoz egy l hosszú és 14A keresztmetszetű harmadikat, ehhez egy megint felére csökkentett keresztmetszetű negyediket és így tovább, elvben a végtelenségig (1. ábra)! Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a szálrendszernek ‐ jóllehet a hossza elvben tetszőlegesen nagy lehet ‐ az össztömege véges, és benne a húzófeszültség sehol nem éri el a kritikus Lϱg értéket.
 
II. megoldás. Keressünk olyan ‐ folytonosan változó keresztmetszetű ‐ szálat, amelynek minden vízszintes keresztmetszetét ugyanakkora húzófeszültség (felületegységre jutó húzóerő) terheli. Jelöljük a felfüggesztés alatt x távolságban a keresztmetszetet A(x)-szel, a benne ébredő feszültséget pedig írjuk fel ϱgl alakban. Ha l<L, akkor ez a (helyfüggetlen) húzófeszültség kisebb, mint a szakítószilárdság, tehát a szál sehol nem szakad el.
 

 
2. ábra
 

A szálat a felfüggesztés alatt x mélységben ϱglA(x) erő terheli, ami éppen a kérdéses keresztmetszet alatti fonál teljes G súlya. Egy kicsiny Δx távolsággal lejjebb a szál keresztmetszete A(x+Δx), a feszítőerő ϱglA(x+Δx), és ez is a kérdéses keresztmetszet alatti fonál teljes súlya, vagyis G-ϱgΔxA(x). Fennáll tehát, hogy
ϱglA(x+Δx)=ϱglA(x)-ϱgΔxA(x),
vagyis
A(x+Δx)-A(x)Δx=(-1l)A(x).
Ez az egyenlet, vagy a belőle Δx0 határátmenettel kapható
dAdx=-A(x)l
differenciálegyenlet ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások egyenlete, tehát a megoldása is azokkal alakilag megegyező:
A(x)=A0e-xl,
ahol A0 a felfüggesztés magasságában tetszőlegesen megválasztható kezdeti keresztmetszet. Ha a szál forgásszimmetrikus, akkor a keresztmetszetei körök, melyek sugara az
R(x)=R0e-x2l
függvény szerint változik. Ez elméletileg végtelen hosszú szálat ír le; a valóságban természetesen R(x) nem csökkenhet akármilyen kicsiny értékre, pl. nem érheti el az atomi léptéket.