Kezdőlap


Feladat:	3867. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Petrás András , Széchenyi Gábor
Füzet:	2007/január, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A (mechanikai) feszültség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/február: 3867. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Állandó keresztmetszet esetén $L$ nem függ a szál $A$ keresztmetszetétől, mert az $A L ϱ g$ súlyú szál egységnyi felületén mindig ugyanakkora, $L ϱ g$ feszültség ébred ( $ϱ$ a szál anyagának sűrűsége).
Változó keresztmetszetű szál akkor nem szakad el, ha bármely keresztmetszete alatti részének a súlya kisebb, mint $A L ϱ g$ . Megmutatjuk, hogy ez a feltétel tetszőleges hosszúságú (de véges össztömegű) szálrendszerrel teljesíthető, ha az egymáshoz erősített szálak keresztmetszete megfelelő módon változik.

1. ábra

Képzeljünk el egy

A

keresztmetszetű,

l

hosszúságú szálat, és legyen

l < L / 2

. Ez a szál nyilván nem szakad el a saját súlya alatt. Erősítsünk most a szál alsó végéhez egy ugyancsak

l

hosszúságú, de csak

\frac{1}{2} A

keresztmetszetű szálat, majd ahhoz egy

l

hosszú és

\frac{1}{4} A

keresztmetszetű harmadikat, ehhez egy megint felére csökkentett keresztmetszetű negyediket és így tovább, elvben a végtelenségig (1. ábra)! Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a szálrendszernek ‐ jóllehet a hossza elvben tetszőlegesen nagy lehet ‐ az össztömege véges, és benne a húzófeszültség sehol nem éri el a kritikus

L ϱ g

értéket.

II. megoldás. Keressünk olyan ‐ folytonosan változó keresztmetszetű ‐ szálat, amelynek minden vízszintes keresztmetszetét ugyanakkora húzófeszültség (felületegységre jutó húzóerő) terheli. Jelöljük a felfüggesztés alatt

x

távolságban a keresztmetszetet

A (x)

-szel, a benne ébredő feszültséget pedig írjuk fel

ϱ g l

alakban. Ha

l < L

, akkor ez a (helyfüggetlen) húzófeszültség kisebb, mint a szakítószilárdság, tehát a szál sehol nem szakad el.

2. ábra

A szálat a felfüggesztés alatt

x

mélységben

ϱ g l \cdot A (x)

erő terheli, ami éppen a kérdéses keresztmetszet alatti fonál teljes

G

súlya. Egy kicsiny

Δ x

távolsággal lejjebb a szál keresztmetszete

A (x + Δ x)

, a feszítőerő

ϱ g l \cdot A (x + Δ x)

, és ez is a kérdéses keresztmetszet alatti fonál teljes súlya, vagyis

G - ϱ g Δ x A (x)

. Fennáll tehát, hogy

\begin{matrix} ϱ g l A (x + Δ x) = ϱ g l A (x) - ϱ g Δ x A (x), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{A (x + Δ x) - A (x)}{Δ x} = (- \frac{1}{l}) A (x) . \end{matrix}

Ez az egyenlet, vagy a belőle

Δ x \to 0

határátmenettel kapható

\begin{matrix} \frac{d A}{d x} = - \frac{A (x)}{l} \end{matrix}

differenciálegyenlet ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások egyenlete, tehát a megoldása is azokkal alakilag megegyező:

\begin{matrix} A (x) = A_{0} e^{- \frac{x}{l}}, \end{matrix}

ahol

A_{0}

a felfüggesztés magasságában tetszőlegesen megválasztható kezdeti keresztmetszet. Ha a szál forgásszimmetrikus, akkor a keresztmetszetei körök, melyek sugara az

\begin{matrix} R (x) = R_{0} e^{- \frac{x}{2 l}} \end{matrix}

függvény szerint változik. Ez elméletileg végtelen hosszú szálat ír le; a valóságban természetesen

R (x)

nem csökkenhet akármilyen kicsiny értékre, pl. nem érheti el az atomi léptéket.