A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Állandó keresztmetszet esetén nem függ a szál keresztmetszetétől, mert az súlyú szál egységnyi felületén mindig ugyanakkora, feszültség ébred ( a szál anyagának sűrűsége). Változó keresztmetszetű szál akkor nem szakad el, ha bármely keresztmetszete alatti részének a súlya kisebb, mint . Megmutatjuk, hogy ez a feltétel tetszőleges hosszúságú (de véges össztömegű) szálrendszerrel teljesíthető, ha az egymáshoz erősített szálak keresztmetszete megfelelő módon változik.
1. ábra Képzeljünk el egy keresztmetszetű, hosszúságú szálat, és legyen . Ez a szál nyilván nem szakad el a saját súlya alatt. Erősítsünk most a szál alsó végéhez egy ugyancsak hosszúságú, de csak keresztmetszetű szálat, majd ahhoz egy hosszú és keresztmetszetű harmadikat, ehhez egy megint felére csökkentett keresztmetszetű negyediket és így tovább, elvben a végtelenségig (1. ábra)! Könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a szálrendszernek ‐ jóllehet a hossza elvben tetszőlegesen nagy lehet ‐ az össztömege véges, és benne a húzófeszültség sehol nem éri el a kritikus értéket.
II. megoldás. Keressünk olyan ‐ folytonosan változó keresztmetszetű ‐ szálat, amelynek minden vízszintes keresztmetszetét ugyanakkora húzófeszültség (felületegységre jutó húzóerő) terheli. Jelöljük a felfüggesztés alatt távolságban a keresztmetszetet -szel, a benne ébredő feszültséget pedig írjuk fel alakban. Ha , akkor ez a (helyfüggetlen) húzófeszültség kisebb, mint a szakítószilárdság, tehát a szál sehol nem szakad el.
2. ábra A szálat a felfüggesztés alatt mélységben erő terheli, ami éppen a kérdéses keresztmetszet alatti fonál teljes súlya. Egy kicsiny távolsággal lejjebb a szál keresztmetszete , a feszítőerő , és ez is a kérdéses keresztmetszet alatti fonál teljes súlya, vagyis . Fennáll tehát, hogy | | vagyis | | Ez az egyenlet, vagy a belőle határátmenettel kapható differenciálegyenlet ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások egyenlete, tehát a megoldása is azokkal alakilag megegyező: ahol a felfüggesztés magasságában tetszőlegesen megválasztható kezdeti keresztmetszet. Ha a szál forgásszimmetrikus, akkor a keresztmetszetei körök, melyek sugara az függvény szerint változik. Ez elméletileg végtelen hosszú szálat ír le; a valóságban természetesen nem csökkenhet akármilyen kicsiny értékre, pl. nem érheti el az atomi léptéket. |