Feladat: C.878 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Findrik Dénes 
Füzet: 2007/május, 283 - 284. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyszög alapú gúlák, Beírt alakzatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/december: C.878

Egy szabályos négyoldalú gúla magassága kétszerese az alapél hosszának. Hányadrésze a gúlába beírt kocka térfogata a gúla térfogatának? (A beírt kocka négy csúcsa a gúla oldalélein, négy csúcsa az alaplapon van.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a gúla alapélét x, magasságát m=2x, a kocka élét a. Fektessünk a gúla tengelyére egy olyan síkot, amely párhuzamos a kocka egyik lapsíkjával. Ez a sík a gúlából egyenlő szárú háromszöget metsz ki, a háromszög alapjának hossza egyenlő a gúla alapélének hosszával, azaz x, magassága 2x. A sík a kockát egy a oldalú négyzetben metszi.
Használjuk az ábra jelöléseit. BDCBFA, és mivel FA=14BF, következik, hogy

a22x-a=14.
Innen a=23x.
 
 

Írjuk fel a térfogatokat.
A gúla térfogata:
2xx23=2x33,
a kocka térfogata:
(23x)3=827x3.

A kocka és a gúla térfogatának hányadosa:
827x323x3=82732=49.