Kezdőlap


Feladat:	C.878	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Findrik Dénes
Füzet:	2007/május, 283 - 284. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyszög alapú gúlák, Beírt alakzatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: C.878

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a gúla alapélét $x$ , magasságát $m = 2 x$ , a kocka élét $a$ . Fektessünk a gúla tengelyére egy olyan síkot, amely párhuzamos a kocka egyik lapsíkjával. Ez a sík a gúlából egyenlő szárú háromszöget metsz ki, a háromszög alapjának hossza egyenlő a gúla alapélének hosszával, azaz $x$ , magassága $2 x$ . A sík a kockát egy $a$ oldalú négyzetben metszi.
Használjuk az ábra jelöléseit. $B D C ▵ \sim B F A ▵$ , és mivel $F A = \frac{1}{4} B F$ , következik, hogy

\begin{matrix} \frac{\frac{a}{2}}{2 x - a} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

Innen

a = \frac{2}{3} x

Írjuk fel a térfogatokat.
A gúla térfogata:

\begin{matrix} \frac{2 x \cdot x^{2}}{3} = \frac{2 x^{3}}{3}, \end{matrix}

a kocka térfogata:

\begin{matrix} {(\frac{2}{3} x)}^{3} = \frac{8}{27} x^{3} . \end{matrix}

A kocka és a gúla térfogatának hányadosa:

\begin{matrix} \frac{\frac{8}{27} x^{3}}{\frac{2}{3} x^{3}} = \frac{8}{27} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{9} . \end{matrix}