Feladat: C.871 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Grandpierre Szandra 
Füzet: 2007/április, 218. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú függvények, Algebrai átalakítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: C.871

Igazoljuk, hogy ha az
x2(x-y)(x-z)+y2(y-x)(y-z)+z2(z-x)(z-y)
kifejezés értelmezve van, akkor értéke független az x, y és z változók értékétől.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Hozzuk az (1) kifejezést közös nevezőre. A közös nevező (x-y)(x-z)(y-z).

x2(y-z)-y2(x-z)+z2(x-y)(x-y)(x-z)(y-z).
A számlálóban végezzük el a műveleteket, majd a kapott eredményt alakítsuk szorzattá:
x2y-x2z-y2x+y2z+z2x-z2y=x2(y-z)-x(y2-z2)+zy(y-z)==(y-z)[x2-x(y+z)+yz]=(y-z)[x(x-y)-z(x-y)]==(y-z)(x-y)(x-z).
Ez pedig nem más, mint a tört nevezője. Vagyis a tört értéke a változóktól függetlenül mindig 1 (természetesen csak ott, ahol értelmezve van).