Feladat: C.868 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Károly Dóra 
Füzet: 2007/április, 216 - 217. oldal  PDF file
Témakör(ök): Koszinusztétel alkalmazása, Ponthalmazok távolsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/október: C.868

Adott a síkban négy különböző pont. A négy pont közötti hat távolság közül négy távolság egységnyi, egy pedig 1,2. Mekkora lehet az ismeretlen hatodik távolság?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először vizsgáljuk azt az esetet, amikor három egységnyi hosszúságú szakasz szabályos háromszöget alkot. Jelöljük e háromszög csúcsait A, B, C-vel. A negyedik pont legyen A-tól 1, B-től 1,2 távolságra. Az A-tól egységnyi távolságra lévő pontok egy körön vannak, hasonlóképpen a B-től 1,2 távolságra lévő pontok is egy körön vannak. A két kör nyilván 2 pontban metszi egymást, legyenek ezek D és D' az ábra szerint. Határozzuk meg mindkét esetben a hiányzó hatodik távolságot.

 
 

Az első esetben jelöljük az ABD szöget β-val, és írjuk fel az ABD háromszögben a koszinusz-tételt β-ra:
12=12+1,22-211,2cosβ.
Innen cosβ=1,442,4=0,6 és β53,13. Ezután írjuk fel a DCB háromszögben a koszinusz-tételt. Itt CBD=CBA+ABD60+53,13=113,13.
DC2=12+1,22-211,2cos113,13.
Innen DC22,44+2,40,3928=3,3827, és DC1,84.
A másik esetben a D'C távolságot kell meghatároznunk. Jelölje a D'AB szöget α. Írjuk fel a koszinusz-tételt az ABD' háromszögre:
1,22=12+12-2cosα,cosα=0,562=0,28,
innen α73,74 és D'AC=α-6013,74.
Az ACD' háromszögben pedig
CD'2=12+12-2cos13,74,
azaz CD'0,24.
Végül, ha az egységnyi szakaszok nem alkotnak háromszöget, akkor egy négyszöget kapunk, melynek egyik átlója 1,2 egység, és minden oldala egységnyi. Mivel a négyszög rombusz, átlói merőlegesen felezik egymást. Felírhatjuk a derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tételt:
x=12-0,62=0,8ésBD=1,6.
A hiányzó hatodik szakasz hossza a pontok elhelyezkedésétől függően 1,84;  0,24 és 1,6 egység lehet.