Kezdőlap


Feladat:	4030. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Filep Tibor , Fonyó Dávid , Földes Tamás , Lovas Lia Izabella , Pázmán Koppány , Szûcs Gergely
Füzet:	2008/május, 308 - 310. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Egyéb interferencia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: 4030. fizika feladat

Egy kelet-nyugati irányba haladó egyenes útszakasztól 100 méterre délre található egy ház. A házban TV-t néz a tulajdonos. A TV jelét egy távoli átjátszó adó közvetíti, ami szintén valamerre délre van az úttól. Az átjátszó adó alapfrekvenciája 60 MHz. Amikor az úton egy távolsági autóbusz halad állandó sebességgel keletről nyugati irányba, a TV jelének intenzitása ingadozik. Amikor a busz éppen legközelebb van a házhoz, akkor az ingadozás üteme 2 Hz. Ha ettől a ponttól 200 méterre nyugatra halad el a busz, akkor a jel ingadozása időlegesen megszűnik. Mekkora a busz sebessége, és milyen irányban helyezkedik el az átjátszó adó?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy a busz $v$ sebeséggel mozog, a távoli átjátszó adó jele pedig $α$ szögben éri az utat ( $0 < α < π$ ).

Tekintsük a távolsági busznak azon helyzetét, amikor a busz sebessége és a háztól a busz felé mutató vektor

φ

szöget zár be egymással (

0 < φ < π

). Ekkor az adó beérkező jelét a busz (mint ,,mozgó megfigyelő'') bizonyos frekvenciatorzulással észleli. Ha a TV adó

f_{0}

frekvenciájú jelet sugároz, akkor a buszban levő mérőműszer ezt a sugárzást (a mozgó megfigyelőre vonatkozó Doppler-képlet alapján)

\begin{matrix} f_{1} = f_{0} (1 + \frac{v_{1}}{c}) \end{matrix}

frekvenciájú jelnek érzékelné. A képletben

c

a hullám terjedési sebessége, vagyis a fénysebesség,

v_{1}

pedig a megfigyelő sebességének a hullám terjedési irányára eső (előjeles) vetülete, ennek nagysága

v_{1} = v cos α

.
A busz a rá eső elektromágneses hullámokat részben elnyeli, de bizonyos mértékben mindenféle irányba ki is sugározza. A szétsugárzott hullámok frekvenciája a buszból mérve az elnyelt hullámok frekvenciájával megegyező, tehát

f_{1}

lenne. Ez a sugárzás is eljut a ház TV készülékébe; mivel azonban a busz mozog, sugárzása a házban lévő vevőkészülékbe nem

f_{1}

, hanem megváltozott, eltorzult frekvenciával érkezik meg. A mozgó hullámforrásra vonatkozó Doppler-képlet alapján a vevőkészülékbe érkező jel frekvenciája

\begin{matrix} f_{2} = f_{1} \frac{1}{1 - \frac{v_{2}}{c}}, \end{matrix}

ahol

v_{2}

a hullámforrás sebességének a megfigyelő irányába eső vetülete, esetünkben

v_{2} = - v cos φ

.
A házban lévő megfigyelő a buszról visszavert jelnek és az adó jelének interferenciáját észleli, és a feltehetőleg igen kicsiny frekvenciakülönbség miatt lebegésszerű jelerősségváltozást érzékel. A jel erősségének ingadozása akkor szűnik meg, amikor a módosult

f_{2}

és az eredeti

f_{0}

frekvencia éppen nem tér el egymástól, tehát amikor fennáll:

\begin{matrix} f_{2} = f_{0} \cdot \frac{1 + \frac{v}{c} cos α}{1 + \frac{v}{c} cos φ} = f_{0} . \end{matrix}

Ebből a feltételből

cos α = cos φ

, vagyis

α = φ

adódik. Tudjuk, hogy az ingadozás megszűnésekor a busz 200 m-re van a házhoz legközelebbi ponttól, tehát

tg φ = \frac{1}{2}

, azaz

α = φ \approx 26, 6^{\circ}

.
Amikor a busz a házhoz legközelebbi ponton halad át, akkor

φ = 90^{\circ}

, tehát

\begin{matrix} f_{2} = f_{0} (1 + \frac{v}{c} cos α) . \end{matrix}

Az ingadozás üteme ekkor

f_{2} - f_{0} = f_{0} cos α \frac{v}{c} = 2 Hz

, és mivel tudjuk, hogy

f_{0} = 60 MHz

, ebből kiszámíthatjuk, hogy

\begin{matrix} v = \frac{2 Hz}{60 MHz} \cdot \frac{c}{cos (26, 6^{\circ})} = 11, 2 \frac{m}{s} = 40, 2 \frac{km}{h} . \end{matrix}

A busz sebessége tehát kb.

40 \frac{km}{h}

, az átjátszó adó pedig az úthoz képest kb. 27 fokos szögben található.