Feladat: B.3947 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2008/május, 279. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Pont körre vonatkozó hatványa, Körülírt kör, Thalesz tétel és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: B.3947

Egy körhöz egy külső P pontból húzott érintő szakaszok hossza legyen h, az érintési pontokat összekötő szakasz felezőpontja F. Bizonyítsuk be, hogy a kör egy AB húrjára APPB=h2 pontosan akkor teljesül, ha az AB egyenes illeszkedik a P vagy az F pontra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az érintési pontok által meghatározott hosszabbik köríven rögzített A ponthoz keressük meg a körön azokat a B pontokat, amelyekre APPB=h2. Az érintő és szelő szakaszok tétele miatt egy ilyen pont B1, ami a PA egyenesnek a körrel alkotott másik metszéspontja. Tudjuk továbbá, hogy a síkon a megfelelő B pontok egy P középpontú (h2/AP sugarú) körön vannak. Így a keresett pontok B1, és a PO tengelyre vonatkozó tükörképe, B2. Belátjuk, hogy AB2 átmegy az F ponton. Mivel F az OP és EE' szakaszok metszéspontja, azt kell megmutatnunk, hogy OP, EE' és AB2 egy ponton mennek át. Ez azért igaz, mert van három kör, amelyeknek ezek a szakaszok a páronként közös húrjaik, vagyis a hatványvonalaik. Az pedig ismert tény, hogy a hatványvonalak egy ponton mennek át (a három kör hatványpontján). Ezek a körök az eredeti kör, a PO szakasz Thalesz-köre és a PAOB2 négyszög körülírt köre. A PAOB2 négyszög azért húrnégyszög, mert A-ból és O-ból a PB2 szakasz egyaránt fele akkora szög alatt látszik, mint amekkora a B1OB2 középponti szög.

 
 

Ennek alapján a tétel két irányának bizonyítása:
Ha fennáll APPB=h2, akkor A és B valamelyike a hosszabb köríven van, mert különben mindkettő h-nál közelebb lenne P-hez. Erre a pontra mint ,,A''-ra alkalmazva a föntieket kapjuk, hogy AB átmegy P-n vagy F-en.
Megfordítva: ha AB átmegy P-n vagy F-en, akkor A és B valamelyike a hosszabb köríven van. Erre mint ,,A''-ra alkalmazva a föntieket adódik, hogy APPB=h2.