Feladat: C.863 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Károly Dóra ,  Südi Anna 
Füzet: 2007/május, 280 - 282. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletek, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: C.863

Melyek azok az x, y egész számok, amelyekre az
x6-y2=648
egyenlőség teljesül?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.

648=x6-y2=(x3)2-y2=(x3+y)(x3-y)==2334=2324=4162=6108=1254=1836.
A lehetséges osztópárok közül csak azokat írtuk fel, amelyekben mindkét tényező páros, hiszen ezek a tényezők két szám összegével és különbségével egyenlők, így azonos paritásúak. Ezenfelül, mivel szorzatuk páros, csak két páros tényezőről lehet szó.
A megfelelő osztópárban az egyik tényező (x3+y)-nal, a másik (x3-y)-nal egyenlő, ezért különbségük 2y. A következő táblázatban a lehetséges y értékeket, majd abból a lehetséges |x| értékeket adjuk meg. Ahol |x|-re egész számot kapunk, az annak megfelelő x, y számpárok teszik igazzá az egyenletet.
x3+yx3-y(x3+y)-(x3-y)=2yyx6=648+y2|x|   324232216126 569nem egész    2324-322-16126 569nem egész    1624158796889nem egész    4162-158-796889nem egész    1086102513249nem egész    6108-102-513249nem egész    541242211089nem egész    1254-42-211089nem egész    36181897293    1836-18-97293  

Tehát az egyenlet megoldásai: x1=3, y1=9; x2=-3, y2=9; x3=3, y3=-9; x4=-3, y4=-9.
 
II. megoldás. Az x és y páros hatványon szerepel, ezért ha (x;y) megoldáspár, akkor (-x;y), (-x;-y), (x;-y) is megoldás.
Mivel 648 páros, azért x6 és y2 azonos paritású.
Tegyük föl először, hogy x és y is páros. Ekkor x=2n, y=2m.
(2n)6-(2m)2=648,26n6-22m2=2334,24n6-m2=234.

Az m csak páros lehet, mivel 24n6 és 234 egyaránt páros. Így m2  4-gyel is osztható, ezért a bal oldal osztható 4-gyel, a jobb oldal viszont nem. Tehát ebben az esetben nincs megoldás.
Nézzük ezután azt az esetet, ha x és y is páratlan. A páratlan négyzetszámok csak 1-re, 5-re vagy 9-re végződhetnek. Tehát x6 utolsó számjegyének 9-nek, y2 utolsó számjegyének 1-nek kell lennie, mert csak ilyen végződésű számok különbségéből kapjuk meg a 648 utolsó 8-as számjegyét. Így sem x, sem y nem végződhet 5-re.
Határozzuk meg |x| minimális és maximális értékét. Az előzőek miatt |x|3. Mivel x6 négyzetszám, érdemes lehet megvizsgálni két négyzetszám különbségét. Szomszédos egész számok négyzetének különbsége folyamatosan nő, ha a számok növekednek. Ha tehát |x| maximális értékét keressük, az alábbi egyenlőtlenség alapján járhatunk el:
a2-(a-1)2648,
amiből a324,5. Jelen esetben a=x3, tehát |x|6,87.
A fentiek szerint |x| páratlan, nem lehet 5, tehát csak 3 lehet. Ekkor a
36-y2=648
egyenletből |y|=9.
Tehát a
(3;9),(-3;9),(-3;-9)  és  (3;-9)
megoldáspárokra teljesül az egyenlőség.
 
Megjegyzés. A bal oldal szorzattá alakítása után a többség a lehetséges osztópárok végignézésével jutott el a helyes megoldásra. Néhányan ‐ megfelelő indoklással ‐ alsó és felső becslést adtak a lehetséges x értékekre, majd a közöttük lévő lehetőségeket mind kipróbálták.