A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás.
A lehetséges osztópárok közül csak azokat írtuk fel, amelyekben mindkét tényező páros, hiszen ezek a tényezők két szám összegével és különbségével egyenlők, így azonos paritásúak. Ezenfelül, mivel szorzatuk páros, csak két páros tényezőről lehet szó. A megfelelő osztópárban az egyik tényező -nal, a másik -nal egyenlő, ezért különbségük . A következő táblázatban a lehetséges értékeket, majd abból a lehetséges értékeket adjuk meg. Ahol -re egész számot kapunk, az annak megfelelő , számpárok teszik igazzá az egyenletet. | |
Tehát az egyenlet megoldásai: x1=3, y1=9; x2=-3, y2=9; x3=3, y3=-9; x4=-3, y4=-9.
II. megoldás. Az x és y páros hatványon szerepel, ezért ha (x;y) megoldáspár, akkor (-x;y), (-x;-y), (x;-y) is megoldás. Mivel 648 páros, azért x6 és y2 azonos paritású. Tegyük föl először, hogy x és y is páros. Ekkor x=2n, y=2m.
(2n)6-(2m)2=648,26n6-22m2=23⋅34,24n6-m2=2⋅34.
Az m csak páros lehet, mivel 24n6 és 2⋅34 egyaránt páros. Így m2 4-gyel is osztható, ezért a bal oldal osztható 4-gyel, a jobb oldal viszont nem. Tehát ebben az esetben nincs megoldás. Nézzük ezután azt az esetet, ha x és y is páratlan. A páratlan négyzetszámok csak 1-re, 5-re vagy 9-re végződhetnek. Tehát x6 utolsó számjegyének 9-nek, y2 utolsó számjegyének 1-nek kell lennie, mert csak ilyen végződésű számok különbségéből kapjuk meg a 648 utolsó 8-as számjegyét. Így sem x, sem y nem végződhet 5-re. Határozzuk meg |x| minimális és maximális értékét. Az előzőek miatt |x|≥3. Mivel x6 négyzetszám, érdemes lehet megvizsgálni két négyzetszám különbségét. Szomszédos egész számok négyzetének különbsége folyamatosan nő, ha a számok növekednek. Ha tehát |x| maximális értékét keressük, az alábbi egyenlőtlenség alapján járhatunk el: amiből a≤324,5. Jelen esetben a=x3, tehát |x|≤6,87. A fentiek szerint |x| páratlan, nem lehet 5, tehát csak 3 lehet. Ekkor a egyenletből |y|=9. Tehát a | (3;9),(-3;9),(-3;-9) és (3;-9) | megoldáspárokra teljesül az egyenlőség.
Megjegyzés. A bal oldal szorzattá alakítása után a többség a lehetséges osztópárok végignézésével jutott el a helyes megoldásra. Néhányan ‐ megfelelő indoklással ‐ alsó és felső becslést adtak a lehetséges x értékekre, majd a közöttük lévő lehetőségeket mind kipróbálták. |