Kezdőlap


Feladat:	C.863	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Károly Dóra , Südi Anna
Füzet:	2007/május, 280 - 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: C.863

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.

\begin{matrix} 648 & = x^{6} - y^{2} = {(x^{3})}^{2} - y^{2} = (x^{3} + y) (x^{3} - y) = \\ = 2^{3} \cdot 3^{4} = 2 \cdot 324 = 4 \cdot 162 = 6 \cdot 108 = 12 \cdot 54 = 18 \cdot 36. \end{matrix}

A lehetséges osztópárok közül csak azokat írtuk fel, amelyekben mindkét tényező páros, hiszen ezek a tényezők két szám összegével és különbségével egyenlők, így azonos paritásúak. Ezenfelül, mivel szorzatuk páros, csak két páros tényezőről lehet szó.
A megfelelő osztópárban az egyik tényező

(x^{3} + y)

-nal, a másik

(x^{3} - y)

-nal egyenlő, ezért különbségük

2 y

. A következő táblázatban a lehetséges

y

értékeket, majd abból a lehetséges

| x |

értékeket adjuk meg. Ahol

| x |

-re egész számot kapunk, az annak megfelelő

x

y

számpárok teszik igazzá az egyenletet.

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{3} + y & x^{3} - y & (x^{3} + y) - (x^{3} - y) = 2 y & y & x^{6} = 648 + y^{2} & | x | \\ 324 & 2 & 322 & 161 & 26 569 & nem egész \\ 2 & 324 & - 322 & - 161 & 26 569 & nem egész \\ 162 & 4 & 158 & 79 & 6889 & nem egész \\ 4 & 162 & - 158 & - 79 & 6889 & nem egész \\ 108 & 6 & 102 & 51 & 3249 & nem egész \\ 6 & 108 & - 102 & - 51 & 3249 & nem egész \\ 54 & 12 & 42 & 21 & 1089 & nem egész \\ 12 & 54 & - 42 & - 21 & 1089 & nem egész \\ 36 & 18 & 18 & 9 & 729 & 3 \\ 18 & 36 & - 18 & - 9 & 729 & 3 \end{matrix} \end{matrix}

Tehát az egyenlet megoldásai:

x_{1} = 3

y_{1} = 9

;

x_{2} = - 3

y_{2} = 9

;

x_{3} = 3

y_{3} = - 9

;

x_{4} = - 3

y_{4} = - 9

II. megoldás. Az

x

és

y

páros hatványon szerepel, ezért ha

(x; y)

megoldáspár, akkor

(- x; y)

(- x; - y)

(x; - y)

is megoldás.
Mivel 648 páros, azért

x^{6}

és

y^{2}

azonos paritású.
Tegyük föl először, hogy

x

és

y

is páros. Ekkor

x = 2 n

y = 2 m

\begin{matrix} {(2 n)}^{6} - {(2 m)}^{2} & = 648, \\ 2^{6} n^{6} - 2^{2} m^{2} & = 2^{3} \cdot 3^{4}, \\ 2^{4} n^{6} - m^{2} & = 2 \cdot 3^{4} . \end{matrix}

m

csak páros lehet, mivel

2^{4} n^{6}

és

2 \cdot 3^{4}

egyaránt páros. Így

m^{2}

4-gyel is osztható, ezért a bal oldal osztható 4-gyel, a jobb oldal viszont nem. Tehát ebben az esetben nincs megoldás.
Nézzük ezután azt az esetet, ha

x

és

y

is páratlan. A páratlan négyzetszámok csak 1-re, 5-re vagy 9-re végződhetnek. Tehát

x^{6}

utolsó számjegyének 9-nek,

y^{2}

utolsó számjegyének 1-nek kell lennie, mert csak ilyen végződésű számok különbségéből kapjuk meg a 648 utolsó 8-as számjegyét. Így sem

x

, sem

y

nem végződhet 5-re.
Határozzuk meg

| x |

minimális és maximális értékét. Az előzőek miatt

| x | \geq 3

. Mivel

x^{6}

négyzetszám, érdemes lehet megvizsgálni két négyzetszám különbségét. Szomszédos egész számok négyzetének különbsége folyamatosan nő, ha a számok növekednek. Ha tehát

| x |

maximális értékét keressük, az alábbi egyenlőtlenség alapján járhatunk el:

\begin{matrix} a^{2} - {(a - 1)}^{2} \leq 648, \end{matrix}

amiből

a \leq 324, 5

. Jelen esetben

a = x^{3}

, tehát

| x | \leq 6, 87

.
A fentiek szerint

| x |

páratlan, nem lehet 5, tehát csak

3

lehet. Ekkor a

\begin{matrix} 3^{6} - y^{2} = 648 \end{matrix}

egyenletből

| y | = 9

.
Tehát a

\begin{matrix} (3; 9), (- 3; 9), (- 3; - 9) és (3; - 9) \end{matrix}

megoldáspárokra teljesül az egyenlőség.

Megjegyzés. A bal oldal szorzattá alakítása után a többség a lehetséges osztópárok végignézésével jutott el a helyes megoldásra. Néhányan ‐ megfelelő indoklással ‐ alsó és felső becslést adtak a lehetséges

x

értékekre, majd a közöttük lévő lehetőségeket mind kipróbálták.