Feladat: B.3919 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Zsolt ,  Faragó Kornél ,  Farkas Márton ,  Grósz Dániel ,  Győrffy Lajos ,  Herber Máté ,  Nagy János ,  Sommer Dániel ,  Szabó Levente ,  Szakács Nóra ,  Szalkai Balázs ,  Szívós Eszter ,  Ta Phuong Linh ,  Tallián György ,  Tóth Barnabás ,  Tóthmérész Lilla ,  Varga Péter 
Füzet: 2006/november, 484 - 485. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Háromszög nevezetes körei, Oldalfelező merőleges, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: B.3919

Szerkesszünk a hegyesszögű ABC háromszög belsejében olyan P pontot, amelyre PABC=PBCA=PCAB.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első feltétel azzal ekvivalens, hogy PA:PB=CA:CB. Vagyis P vagy rajta van AB szakaszfelező merőlegesén (ha CA=CB), vagy arra a kc Apollóniusz-körre illeszkedik, amely azokat a pontokat tartalmazza, melyeknek az A és B pontoktól mért távolságuk aránya CA:CB1. Ugyanígy kapjuk a PABC=PCAB feltételből, hogy P szintén rajta van vagy AC szakaszfelező merőlegesén (ha BA=BC), vagy pedig azon a kB Apollóniusz-körön, amely azokat a pontokat tartalmazza, melyeknek az A és C pontoktól mért távolságuk aránya BA:BC1.
Az Apollóniusz-köröket könnyen megszerkeszthetjük. Szimmetrikusak a két alappont összekötő egyenesére, ezért pl. kc középpontja az AB egyenesen van, nyilván áthalad a C csúcson, a szögfelező-tétel miatt pedig a C-ből induló szögfelezőnek az AB oldallal alkotott Fc metszéspontján is. Vagyis középpontja CFc szakaszfelező merőlegesének és AB-nek a metszéspontja. Az így megszerkesztett két körnek (illetve esetleg egyenesnek) a háromszög belsejébe eső metszéspontja szolgáltatja a P pontot.
Mindig pontosan egy ilyen P pont létezik, mert a kc körnek a C-t Fc-vel összekötő rövidebb íve végig a háromszög belsejében halad. Ez az elfajuló esetben triviálisan teljesül, ha pedig például β>α, akkor abból következik, hogy az OcCA szög derékszögnél nagyobb, ahol Oc a kc középpontja. Ezt egyszerű szögszámolással igazolhatjuk: mivel a BCFc háromszögben a BCFc=γ2, a BFcC=α+γ2, ezért az OcFcC egyenlő szárú háromszög miatt COcFc=β-α, tehát OcCB=α, és végül az OcCA=α+γ, ami nagyobb 90-nál, mivel az ABC háromszög hegyesszögű.