Megoldás. Az első feltétel azzal ekvivalens, hogy $PA:PB=CA:CB$. Vagyis $P$ vagy rajta van $AB$ szakaszfelező merőlegesén (ha $CA=CB$), vagy arra a $k_c$ Apollóniusz-körre illeszkedik, amely azokat a pontokat tartalmazza, melyeknek az $A$ és $B$ pontoktól mért távolságuk aránya $CA:CB\ne 1$. Ugyanígy kapjuk a $PA\cdot BC=PC\cdot AB$ feltételből, hogy $P$ szintén rajta van vagy $AC$ szakaszfelező merőlegesén (ha $BA=BC$), vagy pedig azon a $k_B$ Apollóniusz-körön, amely azokat a pontokat tartalmazza, melyeknek az $A$ és $C$ pontoktól mért távolságuk aránya $BA:BC\ne 1$.
Az Apollóniusz-köröket könnyen megszerkeszthetjük. Szimmetrikusak a két alappont összekötő egyenesére, ezért pl. $k_c$ középpontja az $AB$ egyenesen van, nyilván áthalad a $C$ csúcson, a szögfelező-tétel miatt pedig a $C$-ből induló szögfelezőnek az $AB$ oldallal alkotott $F_c$ metszéspontján is. Vagyis középpontja $C{F}_c$ szakaszfelező merőlegesének és $AB$-nek a metszéspontja. Az így megszerkesztett két körnek (illetve esetleg egyenesnek) a háromszög belsejébe eső metszéspontja szolgáltatja a $P$ pontot.
Mindig pontosan egy ilyen $P$ pont létezik, mert a $k_c$ körnek a $C$-t $F_c$-vel összekötő rövidebb íve végig a háromszög belsejében halad. Ez az elfajuló esetben triviálisan teljesül, ha pedig például $\beta >\alpha$, akkor abból következik, hogy az $O_{c}CA$ szög derékszögnél nagyobb, ahol $O_c$ a $k_c$ középpontja. Ezt egyszerű szögszámolással igazolhatjuk: mivel a $BC{F}_c$ háromszögben a $BC{F}_c\sphericalangle =\frac{\gamma }{2}$, a $B{F}_{c}C\sphericalangle =\alpha +\frac{\gamma }{2}$, ezért az $O_c{F}_{c}C$ egyenlő szárú háromszög miatt $C{O}_c{F}_c\sphericalangle =\beta -\alpha$, tehát $O_{c}CB\sphericalangle =\alpha$, és végül az $O_{c}CA\sphericalangle =\alpha +\gamma$, ami nagyobb ${90}^{\circ }$-nál, mivel az $ABC$ háromszög hegyesszögű.