A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az első feltétel azzal ekvivalens, hogy . Vagyis vagy rajta van szakaszfelező merőlegesén (ha ), vagy arra a Apollóniusz-körre illeszkedik, amely azokat a pontokat tartalmazza, melyeknek az és pontoktól mért távolságuk aránya . Ugyanígy kapjuk a feltételből, hogy szintén rajta van vagy szakaszfelező merőlegesén (ha ), vagy pedig azon a Apollóniusz-körön, amely azokat a pontokat tartalmazza, melyeknek az és pontoktól mért távolságuk aránya . Az Apollóniusz-köröket könnyen megszerkeszthetjük. Szimmetrikusak a két alappont összekötő egyenesére, ezért pl. középpontja az egyenesen van, nyilván áthalad a csúcson, a szögfelező-tétel miatt pedig a -ből induló szögfelezőnek az oldallal alkotott metszéspontján is. Vagyis középpontja szakaszfelező merőlegesének és -nek a metszéspontja. Az így megszerkesztett két körnek (illetve esetleg egyenesnek) a háromszög belsejébe eső metszéspontja szolgáltatja a pontot. Mindig pontosan egy ilyen pont létezik, mert a körnek a -t -vel összekötő rövidebb íve végig a háromszög belsejében halad. Ez az elfajuló esetben triviálisan teljesül, ha pedig például , akkor abból következik, hogy az szög derékszögnél nagyobb, ahol a középpontja. Ezt egyszerű szögszámolással igazolhatjuk: mivel a háromszögben a , a , ezért az egyenlő szárú háromszög miatt , tehát , és végül az , ami nagyobb -nál, mivel az háromszög hegyesszögű. |