Feladat: 3828. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Péter 
Füzet: 2006/május, 309 - 311. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gyűjtőlencse, A szem, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/október: 3828. fizika feladat

A szemünktől 22cm-re lévő pénzérmét nézzük.
a) Szemünktől mekkora távolságra keletkezik a kép, ha egy 5 dioptriás lencsét 10cm-re tartunk a szemünktől?
b) Hányszor nagyobb kép keletkezik a retinán, mintha lencse nélkül néznénk a pénzérmét?
c) Hová tegyük a lencsét, hogy a lehető legnagyobbnak lássuk a pénzérmét?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Az 5 dioptriás gyűjtőlencse fókusztávolsága

f=1D=0,2m=20cm.
A leképezési törvény szerint
1k+1t=1f,azazk=tft-f,
ahol t=12cm a lencse és a pénzérme (tárgy) távolsága. A képtávolság tehát
k=12cm20cm-8cm=-30cm,
vagyis a kép a szemünktől 10cm+30cm=40cm távolságra keletkezik, és a mérete a tárgy méretének |kt|-szerese, vagyis 2,5-szerese.
b) A retinán keletkező képnek az eredeti tárgymérethez viszonyított arányát (vagyis a nagyítást, illetve kicsinyítést) a kép és a tárgy távolságának az aránya, valamint a tárgy mérete határozza meg:
K'T'=k't',
ahol a vessző a szemre vonatkoztatott adatokat jelöli. Mivel k' (a szemlencse és a retina távolsága) a szem felépítése miatt mindig ugyanakkora, a retinán keletkező kép mérete csak a tárgyméret és a tárgytávolság arányától, a tárgy ún. látószögétől függ:
K'=k't'T'T't'.

Ha lencse nélkül nézzük az érmét, akkor a tárgytávolság 22 cm, a tárgy mérete pedig valamekkora T, a retinán keletkező kép mérete tehát
K'1T22cm.
A lencsén keresztül nézve olyan képet látunk, mintha a tárgy (az érme) 40 cm-re lenne a szemünktől, a mérete pedig 2,5T lenne; ilyenkor a retinán keletkező kép mérete
K'22,5T40cm.

A szemünk által érzékelt nagyítások aránya ezek szerint
K'2K'1=2,52240=1,3751,4.

c) Helyezzük most a lencsét a korábbi 10 cm helyett x<22cm távolságra a szemünktől. Ekkor a lencse és a pénz távolsága t=22-x lesz. (A továbbiakban valamennyi hosszúságot centiméter egységben számoljuk, de a mértékegységet nem írjuk ki.) Feltételezhetjük, hogy t<f=20, vagyis x>2; ekkor a lencse a szemünkkel ellentétes oldalon virtuális képet alkot a pénzről. A T méretű érme képének nagysága
T'=T|ft-f|=T20x-2
lesz, a lencsétől mért távolsága pedig
|k|=|tft-f|=(22-x)20x-2.
Ez a kép a szemünktől
t'=|k|+x=(22-x)20x-2+x=x2-22x+440x-2
távolságban található, a retinán keletkező kép nagyságát meghatározó látószöge tehát
T't'=20Tx2-22x+440=20T(x-11)2+319.
Ez a kifejezés akkor a legnagyobb, amikor a nevezője a legkisebb, vagyis amikor x=11cm.
A pénzérmét tehát akkor látjuk a legnagyobbnak, amikor a lencsét éppen a szemünk és az érme közötti távolság felezőpontjánál tartjuk.
 
Megjegyzés. Érdekes, hogy a c) kérdésre kapott megoldás független a lencse fókusztávolságától, és akkor is érvényben marad, amikor a lencsét 2 cm-nél közelebb tartjuk a szemünkhöz. Igaz ugyan, hogy ekkor a lencse önmagában valódi képet alkotna a hátunk mögött, ezt a képet azonban a szemünk (mint egy virtuális tárgyat) bizonyos esetekben (nem túl kicsi tárgytávolság esetén) le tudja képezni a retinára. Ehhez arra van szükség, hogy a szemünk egész leképező rendszerének fókusztávolsága nagyobb legyen (tehát a szemünk kevésbé fókuszáljon), mint amikor egy nagyon távoli tárgyat nézünk.