Kezdőlap


Feladat:	3828. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bogár Péter
Füzet:	2006/május, 309 - 311. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, A szem, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: 3828. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az 5 dioptriás gyűjtőlencse fókusztávolsága

\begin{matrix} f = \frac{1}{D} = 0, 2 m = 20 cm . \end{matrix}

A leképezési törvény szerint

\begin{matrix} \frac{1}{k} + \frac{1}{t} = \frac{1}{f}, azaz k = \frac{t f}{t - f}, \end{matrix}

ahol

t = 12

cm a lencse és a pénzérme (tárgy) távolsága. A képtávolság tehát

\begin{matrix} k = \frac{12 cm \cdot 20 cm}{- 8 cm} = - 30 cm, \end{matrix}

vagyis a kép a szemünktől

10 cm + 30 cm = 40 cm

távolságra keletkezik, és a mérete a tárgy méretének

| \frac{k}{t} |

-szerese, vagyis 2,5-szerese.

b)

A retinán keletkező képnek az eredeti tárgymérethez viszonyított arányát (vagyis a nagyítást, illetve kicsinyítést) a kép és a tárgy távolságának az aránya, valamint a tárgy mérete határozza meg:

\begin{matrix} \frac{K'}{T'} = \frac{k'}{t'}, \end{matrix}

ahol a vessző a szemre vonatkoztatott adatokat jelöli. Mivel

k'

(a szemlencse és a retina távolsága) a szem felépítése miatt mindig ugyanakkora, a retinán keletkező kép mérete csak a tárgyméret és a tárgytávolság arányától, a tárgy ún. látószögétől függ:

\begin{matrix} K' = \frac{k'}{t'} T' \sim \frac{T'}{t'} . \end{matrix}

Ha lencse nélkül nézzük az érmét, akkor a tárgytávolság 22 cm, a tárgy mérete pedig valamekkora

T

, a retinán keletkező kép mérete tehát

\begin{matrix} K'_{1} \sim \frac{T}{22 cm} . \end{matrix}

A lencsén keresztül nézve olyan képet látunk, mintha a tárgy (az érme) 40 cm-re lenne a szemünktől, a mérete pedig

2, 5 T

lenne; ilyenkor a retinán keletkező kép mérete

\begin{matrix} K'_{2} \sim \frac{2, 5 T}{40 cm} . \end{matrix}

A szemünk által érzékelt nagyítások aránya ezek szerint

\begin{matrix} \frac{K'_{2}}{K'_{1}} = 2, 5 \frac{22}{40} = 1, 375 \approx 1, 4. \end{matrix}

c)

Helyezzük most a lencsét a korábbi 10 cm helyett

x < 22 cm

távolságra a szemünktől. Ekkor a lencse és a pénz távolsága

t = 22 - x

lesz. (A továbbiakban valamennyi hosszúságot centiméter egységben számoljuk, de a mértékegységet nem írjuk ki.) Feltételezhetjük, hogy

t < f = 20

, vagyis

x > 2

; ekkor a lencse a szemünkkel ellentétes oldalon virtuális képet alkot a pénzről. A

T

méretű érme képének nagysága

\begin{matrix} T' = T \cdot | \frac{f}{t - f} | = T \cdot \frac{20}{x - 2} \end{matrix}

lesz, a lencsétől mért távolsága pedig

\begin{matrix} | k | = | \frac{t f}{t - f} | = \frac{(22 - x) \cdot 20}{x - 2} . \end{matrix}

Ez a kép a szemünktől

\begin{matrix} t' = | k | + x = \frac{(22 - x) \cdot 20}{x - 2} + x = \frac{x^{2} - 22 x + 440}{x - 2} \end{matrix}

távolságban található, a retinán keletkező kép nagyságát meghatározó látószöge tehát

\begin{matrix} \frac{T'}{t'} = \frac{20 T}{x^{2} - 22 x + 440} = \frac{20 T}{{(x - 11)}^{2} + 319} . \end{matrix}

Ez a kifejezés akkor a legnagyobb, amikor a nevezője a legkisebb, vagyis amikor

x = 11

cm.
A pénzérmét tehát akkor látjuk a legnagyobbnak, amikor a lencsét éppen a szemünk és az érme közötti távolság felezőpontjánál tartjuk.

Megjegyzés. Érdekes, hogy a

c)

kérdésre kapott megoldás független a lencse fókusztávolságától, és akkor is érvényben marad, amikor a lencsét 2 cm-nél közelebb tartjuk a szemünkhöz. Igaz ugyan, hogy ekkor a lencse önmagában valódi képet alkotna a hátunk mögött, ezt a képet azonban a szemünk (mint egy virtuális tárgyat) bizonyos esetekben (nem túl kicsi tárgytávolság esetén) le tudja képezni a retinára. Ehhez arra van szükség, hogy a szemünk egész leképező rendszerének fókusztávolsága nagyobb legyen (tehát a szemünk kevésbé fókuszáljon), mint amikor egy nagyon távoli tárgyat nézünk.