Feladat: B.4026 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balla Attila ,  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Bohus Kinga ,  Botos Csongor ,  Dinh Hoangthanh Attila ,  Dinh Van Anh ,  Éles András ,  Fonyó Dávid ,  Grósz Dániel ,  Gyurcsik Judit ,  Hursán Zsófia ,  Marák Károly ,  Mészáros András ,  Nagy Donát ,  Nagy-Baló András ,  Pasztuhov Anna ,  Peregi Tamás ,  Perjési Gábor ,  Rácz Tamás ,  Strenner Péter ,  Szabó Dávid ,  Szalkai Balázs ,  Tossenberger Anna ,  Varga László ,  Véges Márton 
Füzet: 2008/április, 218 - 220. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Thalesz tétel és megfordítása, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/október: B.4026

A d1 és d2 átmérőjű körök közös húrjának hossza h. Az egyik metszésponton át húzott két egyenes a köröket rendre a C1 és C2, illetve a D1 és D2 pontokban metszi az ábrán látható módon. Bizonyítsuk be, hogy a C1D1 egyenes pontosan akkor merőleges C2D2-re, ha
1h2=1d12+1d22.

 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először lássunk be egy segédtételt:
Két metsző kör egyik metszéspontján átmenő tetszőleges egyenesnek a körökön belül fekvő darabja a másik metszéspontból mindig egyenlő (az egyenes irányától független) szögben látszik.
Az 1. ábrán az egy és a két ívvel jelölt szögek a szelő tetszőleges helyzete esetében ugyanakkorák, mivel ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögek, így a háromszög harmadik szöge is állandó.

 
 

1. ábra
 

A 2. ábra szerint jelöljük a két kör közös húrjának végpontjait A-val és B-vel, a C1D1 és C2D2 egyenesek metszéspontját E-vel.
 
 

2. ábra
 

Először tegyük fel, hogy C1D1 merőleges C2D2-re.
Ekkor az EC1C2=α és C1C2E=β jelöléseket bevezetve az EC1C2 derékszögű háromszögben α+β=90. Nyilván BC1D1=180-α és az ABC1D1 húrnégyszögben
D1AB=180-BC1D1=α.

Másrészt BAD2=BC2D2=β, hiszen azonos BD2 ívhez tartozó kerületi szögek az O2 középpontú körben.
Így
D1AD2=D1AB+BAD2=α+β=90.

A segédtétel szerint bármely B ponton keresztül húzott szelőnek a két körbe eső darabja az A pontból derékszög alatt látszik.
Húzzuk meg ezen szelők közül azt, amelyik merőleges az AB húrra, és jelöljük a körökkel alkotott metszéspontokat M1, M2-vel (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Mivel a B pontból az AM1 és AM2 húrok 90-os szög alatt látszanak, a Thálesz-tétel miatt ezek átmérők a megfelelő körökben.
Az ABM1 és ABM2 derékszögű háromszögekre alkalmazva a Pitagorasz-tételt:
BM1=d12-h2ésBM2=d22-h2.

Az M1AM2 derékszögű háromszögben a magasságtétel alapján:
d12-h2d22-h2=h2.
Négyzetreemelés után: (d12-h2)(d22-h2)=h4, amiből d12d22=d12h2+d22h2, illetve osztva a d12d22h2>0 mennyiséggel:
1h2=1d12+1d22.
Megfordítva az állítást, ha
1h2=1d12+1d22
egyenlőség teljesül, a levezetést lépésről lépésre visszafele végrehajtva a BA=BM1BM2 összefüggés adódik, ami a magasságtétel megfordításaként azt jelenti, hogy M1AM2=90.
A bizonyított segédtétel alapján így D1AD2=90, illetve a korábbi levezetés alapján
90=D1AD2=D1AB+BAD2=EC1C2+C1C2E.
Így C2EC1=180-(EC1C2+C1C2E)=90.