|
Feladat: |
B.4026 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balla Attila , Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Bohus Kinga , Botos Csongor , Dinh Hoangthanh Attila , Dinh Van Anh , Éles András , Fonyó Dávid , Grósz Dániel , Gyurcsik Judit , Hursán Zsófia , Marák Károly , Mészáros András , Nagy Donát , Nagy-Baló András , Pasztuhov Anna , Peregi Tamás , Perjési Gábor , Rácz Tamás , Strenner Péter , Szabó Dávid , Szalkai Balázs , Tossenberger Anna , Varga László , Véges Márton |
Füzet: |
2008/április,
218 - 220. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Thalesz tétel és megfordítása, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2007/október: B.4026 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Először lássunk be egy segédtételt: Két metsző kör egyik metszéspontján átmenő tetszőleges egyenesnek a körökön belül fekvő darabja a másik metszéspontból mindig egyenlő (az egyenes irányától független) szögben látszik. Az 1. ábrán az egy és a két ívvel jelölt szögek a szelő tetszőleges helyzete esetében ugyanakkorák, mivel ugyanazon ívhez tartozó kerületi szögek, így a háromszög harmadik szöge is állandó.
1. ábra A 2. ábra szerint jelöljük a két kör közös húrjának végpontjait -val és -vel, a és egyenesek metszéspontját -vel.
2. ábra Először tegyük fel, hogy merőleges -re. Ekkor az és jelöléseket bevezetve az derékszögű háromszögben . Nyilván és az húrnégyszögben Másrészt , hiszen azonos ívhez tartozó kerületi szögek az középpontú körben. Így | |
A segédtétel szerint bármely ponton keresztül húzott szelőnek a két körbe eső darabja az pontból derékszög alatt látszik. Húzzuk meg ezen szelők közül azt, amelyik merőleges az húrra, és jelöljük a körökkel alkotott metszéspontokat , -vel (3. ábra).
3. ábra Mivel a pontból az és húrok -os szög alatt látszanak, a Thálesz-tétel miatt ezek átmérők a megfelelő körökben. Az és derékszögű háromszögekre alkalmazva a Pitagorasz-tételt: Az derékszögű háromszögben a magasságtétel alapján: Négyzetreemelés után: , amiből , illetve osztva a 0 mennyiséggel: Megfordítva az állítást, ha egyenlőség teljesül, a levezetést lépésről lépésre visszafele végrehajtva a összefüggés adódik, ami a magasságtétel megfordításaként azt jelenti, hogy . A bizonyított segédtétel alapján így , illetve a korábbi levezetés alapján | | Így . |
|