Feladat: C.907 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Orbán Réka ,  Szikszay László 
Füzet: 2008/április, 209 - 210. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyzetek, Trapézok, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/szeptember: C.907

Az a oldalú ABCD, és a b oldalú BEFG négyzeteket az ábrán látható módon rajzoltuk egymás mellé.
 
 

Fejezzük ki a-val és b-vel az AB, BE, FC és DG szakaszok felezőpontjai által meghatározott négyszög területét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje H, I, J és K az AB, BE, FC és GD szakaszok felezőpontját. A feladat szövege szerint:

AB=BC=CD=AD=aésBE=EF=FG=BG=b.

 
 

Felhasználjuk, hogy a trapéz középvonala (a trapéz szárainak felezőpontját összekötő szakasz) párhuzamos az alapokkal, hossza pedig az alapok összegének felével egyenlő.
Tudjuk, hogy BGBC, mert ez a négyzetek közös oldala, ADBCBGEF, mert ezek a megfelelő négyzetek szemköztes oldalai.
Ezért az ABGD és az EFCB négyszögek olyan trapézok, amelyekben az alapok AD=BC=a, BG=EF=b. Így a középvonalak hossza is egyenlő:
HK=IJ=a+b2.

Mivel a trapézok középvonalai párhuzamosak az alapokkal, azért KHI=JIH=90. Hasonlóan AEDCFG és DC=a, FG=b, így KJ egy olyan trapéz középvonala, amelynek alapjai a és b hosszúak. Tehát
KJ=a+b2,KJDC.
Ezért JKH=KJI=90.
Mivel a HIJK négyszögben HI=IJ=JK=KH, és a négyszög szögei 90-osak, ez a négyszög négyzet, melynek területe: t=(a+b2)2.
 
II. megoldás. Helyezzük az ábrát abba a koordináta-rendszerbe, ahol az AE egyenes az x, a BC egyenes pedig az y tengely, így B az origó.
 
 

Az ABCD négyzet a oldalú, így a csúcsok koordinátái: A(-a;0), B(0;0), C(0;a), D(-a;a), ahol a>0.
A BEFG négyzet b oldalú, így a csúcsok koordinátái: B(0;0), E(b;0), F(b;b), G(0;b), ahol b>0.
Számoljuk ki a megfelelő felezőpontok koordinátáit.
Az AB felezőpontja: F1(-a2;0), a BE felezőpontja: F2(b2;0), az FC felezőpontja: F3(b2;a+b2), a DG felezőpontja: F4(-a2;a+b2). Ekkor:
F1F2=(-a2-b2)2+(0-0)2=a+b2.

Hasonlóan számolható, hogy:
F2F3=F3F4=F4F1=a+b2.
Tehát az F1F2F3F4 négyszög rombusz. A rombusz két oldalvektora:
F1F2(a+b2;0),F1F4(0;a+b2).
Ekkor F1F2F1F4=0, vagyis e vektorok merőlegesek egymásra. Ezért az F1F2F3F4 négyszög négyzet, melynek oldalhossza a+b2. Ezek alapján a kérdéses terület: t=(a+b2)2.