A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje , , és az , , és szakaszok felezőpontját. A feladat szövege szerint: | |
Felhasználjuk, hogy a trapéz középvonala (a trapéz szárainak felezőpontját összekötő szakasz) párhuzamos az alapokkal, hossza pedig az alapok összegének felével egyenlő. Tudjuk, hogy , mert ez a négyzetek közös oldala, , mert ezek a megfelelő négyzetek szemköztes oldalai. Ezért az és az négyszögek olyan trapézok, amelyekben az alapok , . Így a középvonalak hossza is egyenlő: Mivel a trapézok középvonalai párhuzamosak az alapokkal, azért . Hasonlóan és , , így egy olyan trapéz középvonala, amelynek alapjai és hosszúak. Tehát Ezért . Mivel a négyszögben , és a négyszög szögei -osak, ez a négyszög négyzet, melynek területe: .
II. megoldás. Helyezzük az ábrát abba a koordináta-rendszerbe, ahol az egyenes az , a egyenes pedig az tengely, így az origó.
Az négyzet oldalú, így a csúcsok koordinátái: , , , , ahol . A négyzet oldalú, így a csúcsok koordinátái: , , , , ahol . Számoljuk ki a megfelelő felezőpontok koordinátáit. Az felezőpontja: , a felezőpontja: , az felezőpontja: , a felezőpontja: . Ekkor: | |
Hasonlóan számolható, hogy: Tehát az négyszög rombusz. A rombusz két oldalvektora: | | Ekkor , vagyis e vektorok merőlegesek egymásra. Ezért az négyszög négyzet, melynek oldalhossza . Ezek alapján a kérdéses terület: . |