Kezdőlap


Feladat:	C.907	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Orbán Réka , Szikszay László
Füzet:	2008/április, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyzetek, Trapézok, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: C.907

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje $H$ , $I$ , $J$ és $K$ az $A B$ , $B E$ , $F C$ és $G D$ szakaszok felezőpontját. A feladat szövege szerint:

\begin{matrix} A B = B C = C D = A D = a és B E = E F = F G = B G = b . \end{matrix}

Felhasználjuk, hogy a trapéz középvonala (a trapéz szárainak felezőpontját összekötő szakasz) párhuzamos az alapokkal, hossza pedig az alapok összegének felével egyenlő.
Tudjuk, hogy

B G ∥ B C

, mert ez a négyzetek közös oldala,

A D ∥ B C ∥ B G ∥ E F

, mert ezek a megfelelő négyzetek szemköztes oldalai.
Ezért az

A B G D

és az

E F C B

négyszögek olyan trapézok, amelyekben az alapok

A D = B C = a

B G = E F = b

. Így a középvonalak hossza is egyenlő:

\begin{matrix} H K = I J = \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

Mivel a trapézok középvonalai párhuzamosak az alapokkal, azért

K H I ∢ = J I H ∢ = 90^{\circ}

. Hasonlóan

A E ∥ D C ∥ F G

és

D C = a

F G = b

, így

K J

egy olyan trapéz középvonala, amelynek alapjai

a

és

b

hosszúak. Tehát

\begin{matrix} K J = \frac{a + b}{2}, K J ∥ D C . \end{matrix}

Ezért

J K H ∢ = K J I ∢ = 90^{\circ}

.
Mivel a

H I J K

négyszögben

H I = I J = J K = K H

, és a négyszög szögei

90^{\circ}

-osak, ez a négyszög négyzet, melynek területe:

t = {(\frac{a + b}{2})}^{2}

II. megoldás. Helyezzük az ábrát abba a koordináta-rendszerbe, ahol az

A E

egyenes az

x

, a

B C

egyenes pedig az

y

tengely, így

B

az origó.

A B C D

négyzet

a

oldalú, így a csúcsok koordinátái:

A (- a; 0)

B (0; 0)

C (0; a)

D (- a; a)

, ahol

a > 0

.
A

B E F G

négyzet

b

oldalú, így a csúcsok koordinátái:

B (0; 0)

E (b; 0)

F (b; b)

G (0; b)

, ahol

b > 0

.
Számoljuk ki a megfelelő felezőpontok koordinátáit.
Az

A B

felezőpontja:

F_{1} (- \frac{a}{2}; 0)

, a

B E

felezőpontja:

F_{2} (\frac{b}{2}; 0)

, az

F C

felezőpontja:

F_{3} (\frac{b}{2}; \frac{a + b}{2})

, a

D G

felezőpontja:

F_{4} (- \frac{a}{2}; \frac{a + b}{2})

. Ekkor:

\begin{matrix} F_{1} F_{2} = \sqrt[]{{(- \frac{a}{2} - \frac{b}{2})}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

Hasonlóan számolható, hogy:

\begin{matrix} F_{2} F_{3} = F_{3} F_{4} = F_{4} F_{1} = \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

Tehát az

F_{1} F_{2} F_{3} F_{4}

négyszög rombusz. A rombusz két oldalvektora:

\begin{matrix} \vec{F_{1} F_{2}} (\frac{a + b}{2}; 0), \vec{F_{1} F_{4}} (0; \frac{a + b}{2}) . \end{matrix}

Ekkor

\vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{F_{1} F_{4}} = 0

, vagyis e vektorok merőlegesek egymásra. Ezért az

F_{1} F_{2} F_{3} F_{4}

négyszög négyzet, melynek oldalhossza

\frac{a + b}{2}

. Ezek alapján a kérdéses terület:

t = {(\frac{a + b}{2})}^{2}