Feladat: B.3941 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Aujeszky Tamás ,  Bodor Bertalan ,  Csaba Ákos ,  Dobribán Edgár ,  Kardos Kinga Gabriela ,  Kiss Réka ,  Korom-Vellás Judit ,  Kristóf Panna ,  Kurgyis Eszter ,  Mercz Béla ,  Peregi Tamás ,  Sümegi Károly ,  Szalóki Dávid ,  Szikszay László ,  Szűcs Gergely ,  Tossenberger Anna ,  Tóth László Márton ,  Varga László ,  Véges Márton ,  Wolosz János 
Füzet: 2007/szeptember, 337 - 338. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/október: B.3941

Határozzuk meg az összes olyan (p;q;r) pozitív racionális számokból álló hármast, amelyre p+q+r,  1p+1q+1r,  pqr mindegyike egész szám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szóban forgó három számot jelölje rendre a, b, c. Mivel bc=pq+qr+rs, a gyökök és együtthatók közötti összefüggések (ViŠte-formulák) alapján p, q, r éppen az (x-p)(x-q)(x-r)=x3-ax2+bcx-c polinom három gyöke. A feltétel szerint a, b, c egész számok, így bc is az, tehát ez a polinom egész együtthatós. A főegyütthatója 1, ezért minden racionális gyöke egész. Ha ugyanis x0=uv gyöke, ahol u és v relatív prím egész számok, akkor x0 behelyettesítése után v3-nal szorozva: 0v3=u3-au2v+bcuv2-cv3=u3-v(au2-bcuv+cv2). Mivel (u;v)=1, azért u3 és v is relatív prímek, de az előbbi egyenlőség szerint v osztója u3-nak. Ez csak úgy lehetséges, ha v=±1, vagyis ha x0=uv egész szám.
Tehát a keresett p, q, r számok olyan pozitív egészek, melyek összege, szorzata és reciprokösszege is egész. Az összeg és a szorzat mindig egész, így azt kell megvizsgálnunk, mikor lesz 1p+1q+1r is egész. Legyen pqr. Ha 3p, akkor

0<1p+1q+1r13+13+13=1,
így a reciprokösszeg akkor egész, ha egyenlőség teljesül, azaz p=q=r=3. Ha p=2, akkor
0<1p+1q+1r32,ezért1p+1q+1r=1,
amiből
1q+1r=12,(q-2)(r-2)=4,
tehát q=r=4, vagy q=3, r=6. Végül, ha p=1, akkor
0<1q+1r2,így1q+1r
értéke 1 vagy 2, amiből rendre q=r=2, illetve q=r=1 adódik.
Tehát az összes megfelelő (p;q;r) számhármas ‐ a számok sorrendjére való tekintet nélkül ‐ a következő: (1;1;1), (1;2;2), (2;4;4), (2;3;6) és (3;3;3).