Megoldás. A szóban forgó három számot jelölje rendre $a$, $b$, $c$. Mivel $bc=pq+qr+rs$, a gyökök és együtthatók közötti összefüggések (ViŠte-formulák) alapján $p$, $q$, $r$ éppen az $\left(x-p\right)\left(x-q\right)\left(x-r\right)=x^3-a{x}^2+bcx-c$ polinom három gyöke. A feltétel szerint $a$, $b$, $c$ egész számok, így $bc$ is az, tehát ez a polinom egész együtthatós. A főegyütthatója $1$, ezért minden racionális gyöke egész. Ha ugyanis $x_0=\frac{u}{v}$ gyöke, ahol $u$ és $v$ relatív prím egész számok, akkor $x_0$ behelyettesítése után $v^3$-nal szorozva: $0\cdot v^3=u^3-a{u}^{2}v+bcu{v}^2-c{v}^3=u^3-v\left(a{u}^2-bcuv+c{v}^2\right)$. Mivel $\left(u;v\right)=1$, azért $u^3$ és $v$ is relatív prímek, de az előbbi egyenlőség szerint $v$ osztója $u^3$-nak. Ez csak úgy lehetséges, ha $v=\pm 1$, vagyis ha $x_0=\frac{u}{v}$ egész szám.
Tehát a keresett $p$, $q$, $r$ számok olyan pozitív egészek, melyek összege, szorzata és reciprokösszege is egész. Az összeg és a szorzat mindig egész, így azt kell megvizsgálnunk, mikor lesz $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ is egész. Legyen $p\le q\le r$. Ha $3\le p$, akkor