A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A szóban forgó három számot jelölje rendre , , . Mivel , a gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Vite-formulák) alapján , , éppen az polinom három gyöke. A feltétel szerint , , egész számok, így is az, tehát ez a polinom egész együtthatós. A főegyütthatója , ezért minden racionális gyöke egész. Ha ugyanis gyöke, ahol és relatív prím egész számok, akkor behelyettesítése után -nal szorozva: . Mivel , azért és is relatív prímek, de az előbbi egyenlőség szerint osztója -nak. Ez csak úgy lehetséges, ha , vagyis ha egész szám. Tehát a keresett , , számok olyan pozitív egészek, melyek összege, szorzata és reciprokösszege is egész. Az összeg és a szorzat mindig egész, így azt kell megvizsgálnunk, mikor lesz is egész. Legyen . Ha , akkor így a reciprokösszeg akkor egész, ha egyenlőség teljesül, azaz . Ha , akkor | | amiből tehát , vagy , . Végül, ha , akkor értéke vagy , amiből rendre , illetve adódik. Tehát az összes megfelelő számhármas ‐ a számok sorrendjére való tekintet nélkül ‐ a következő: , , , és . |