Feladat: B.3906 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Peregi Tamás ,  Salát Zsófia 
Füzet: 2007/szeptember, 332 - 334. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani helyek, Térgeometria, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: B.3906

Az e és f kitérő egyenesek merőlegesek egymásra. Az egységnyi hosszúságú AB szakasz úgy mozog, hogy A mindig e-n, B pedig mindig f-en van. Határozzuk meg AB felezőpontjának mértani helyét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje G az AB szakasz felezőpontját. A két egyenest összekötő legrövidebb szakasz, a normál transzverzális, végpontjait jelölje E és F az 1. ábra szerint. Ismert, hogy ez a szakasz az e és az f egyenesre is merőleges. Az EF szakasz legfeljebb egység hosszú, mivel csak ekkor tud a feladat szerint mozogni az AB szakasz.

 
 

1. ábra
 

BEF háromszög síkja merőleges az e egyenesre, mivel tartalmaz két metsző, e-re merőleges egyenest (EF-et és f-et). Így az EB szakasz is merőleges az e egyenesre, tehát az AEB háromszög derékszögű.
Az AEB háromszög átfogója az AB szakasz. Így az E csúcshoz tartozó súlyvonal hossza az átfogó fele, azaz 12 egység. Tehát a G pont 12 egység távolságra van az E ponttól.
Hasonlóan bizonyítható, hogy az AFB háromszög is derékszögű, tehát a G pont az F ponttól is 12 egység távolságra van.
Így bármelyik felezőpont eleme az E és az F pontoktól egyaránt 12 egység távolságra levő pontok halmazának. Ez két 12 egység sugarú gömb metszete, azaz egy k kör, aminek a középpontja az EF szakasz felezőpontja, síkja merőleges erre a szakaszra, sugara pedig
r=(12)2-(EF2)2.

Be kell még látni, hogy a k körnek az összes pontja előáll egy megfelelő AB szakasz felezőpontjaként.
Az alapjelöléseket megtartva, jelölje az EF szakasz felezőpontját I (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Jelölje H a kör egy tetszőleges pontját. Ekkor EH=12EI. Ha EI=12, akkor H=I. Egyébként az e egyenesen még egy olyan pont található, amely a H ponttól 12 távolságra van, jelölje ezt a pontot A, az A pontnak a H-ra való tükörképét pedig B. Az EF egyenesre E-ben, illetve F-ben állított merőleges síkokat jelölje rendre S és T. Az e egyenes nyilván S-ben, az f pedig T-ben van. Mivel T az S-nek H-ra való tükörképe, B a T síkban van. A tükrözés miatt viszont BH=HA=12=HE, ezért E illeszkedik az AB szakaszra emelt Thalész-gömbre, azaz BE merőleges e-re. Így B az e-re E-ben emelt merőleges síkban is benne fekszik, ami nyilván az EF és f egyenesek által kifeszített sík. Tehát B rajta van e két sík metszésvonalán, f-en. Mivel AB=BH+HA=1, a H pont valóban a keresett mértani helyhez tartozik, ami így az egész k kör.
 
II. megoldás. Vegyük fel úgy a koordinátarendszert, hogy az e egyenes egybeessen a koordinátarendszer x tengelyével, az f egyenes pedig legyen párhuzamos a z tengellyel és legyen benne az yz síkban. A két egyenes távolsága legyen a.
Ha a>1, akkor a feladatnak nincs értelme.
Ha a=1, akkor az AB szakasznak csak egyetlen helyzete lenne lehetséges.
Tehát a<1.
A fentiek alapján az e egyenes egyenletrendszere:
y=0,z=0;
az f egyenes egyenletrendszere pedig
x=0,y=a.

Legyen A az e egyenesen és B az f-en, és jelölje az AB szakasz felezőpontját F(x3,y3,z3). Ekkor az A és B pontok koordinátái: A(x1,0,0), B(0,a,z2), így F koordinátái F(x12,a2,z22), azaz x1=2x3, z2=2z3.
Mivel AB=1, azért
|AB|=|(-x1,a,z2)|=x12+a2+z22=1,
ahonnan 4x32+a2+4z32=1, vagyis
x32+z32=1-a24.

Tehát az F pontok koordinátái kielégítik a következő egyenletrendszert:
x2+z2=1-a24,y=a2.

Az F pontok tehát illeszkednek az O(0,a2,0) középpontú, 1-a22 sugarú körre, mely az y=a2 egyenletű (az xy síkkal párhuzamos) síkban fekszik.
Azt is meg kell még vizsgálnunk, hogy a kör mely pontjai kaphatók meg egy megfelelően választott AB szakasz felezőpontjaként.
Ha P a kör egy pontja, akkor koordinátái P(xp,a2,zp), és teljesül, hogy
xp2+zp2=1-a24.
Olyan A(x1,0,0) és B(0,a,z2) pontokat keresünk, melyek illeszkednek az e, illetve az f egyenesre, és melyekre AB felezőpontja a P pont. Ekkor xp=x12, zp=z22, vagyis x1=2xp és z2=2zp, és így
AB=x12+a2+z22=4xp2+a2+4zp2=41-a24+a2=1-a2+a2=1.

Ez azt jelenti, hogy a kör tetszőleges P pontjához található megfelelő AB szakasz.
Az F pontok mértani helye tehát egy O(0,a2,0) középpontú, 1-a22 sugarú kör, mely az y=a2 egyenletű (az xy síkkal párhuzamos) síkban fekszik.
 
Megjegyzés. Csak páran bizonyították be, hogy a kör minden pontja jó. De azok is megkapták a 4 pontot, akik ezt nem tették meg.