Kezdőlap


Feladat:	B.3906	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Peregi Tamás , Salát Zsófia
Füzet:	2007/szeptember, 332 - 334. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Térgeometria, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: B.3906

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje $G$ az $A B$ szakasz felezőpontját. A két egyenest összekötő legrövidebb szakasz, a normál transzverzális, végpontjait jelölje $E$ és $F$ az 1. ábra szerint. Ismert, hogy ez a szakasz az $e$ és az $f$ egyenesre is merőleges. Az $E F$ szakasz legfeljebb egység hosszú, mivel csak ekkor tud a feladat szerint mozogni az $A B$ szakasz.

1. ábra

B E F

háromszög síkja merőleges az

e

egyenesre, mivel tartalmaz két metsző,

e

-re merőleges egyenest (

E F

-et és

f

-et). Így az

E B

szakasz is merőleges az

e

egyenesre, tehát az

A E B

háromszög derékszögű.
Az

A E B

háromszög átfogója az

A B

szakasz. Így az

E

csúcshoz tartozó súlyvonal hossza az átfogó fele, azaz

\frac{1}{2}

egység. Tehát a

G

pont

\frac{1}{2}

egység távolságra van az

E

ponttól.
Hasonlóan bizonyítható, hogy az

A F B

háromszög is derékszögű, tehát a

G

pont az

F

ponttól is

\frac{1}{2}

egység távolságra van.
Így bármelyik felezőpont eleme az

E

és az

F

pontoktól egyaránt

\frac{1}{2}

egység távolságra levő pontok halmazának. Ez két

\frac{1}{2}

egység sugarú gömb metszete, azaz egy

k

kör, aminek a középpontja az

E F

szakasz felezőpontja, síkja merőleges erre a szakaszra, sugara pedig

\begin{matrix} r = \sqrt[]{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{E F}{2})}^{2}} . \end{matrix}

Be kell még látni, hogy a

k

körnek az összes pontja előáll egy megfelelő

A B

szakasz felezőpontjaként.
Az alapjelöléseket megtartva, jelölje az

E F

szakasz felezőpontját

I

(2. ábra).

2. ábra

Jelölje

H

a kör egy tetszőleges pontját. Ekkor

E H = \frac{1}{2} \geq E I

. Ha

E I = \frac{1}{2}

, akkor

H = I

. Egyébként az

e

egyenesen még egy olyan pont található, amely a

H

ponttól

\frac{1}{2}

távolságra van, jelölje ezt a pontot

A

, az

A

pontnak a

H

-ra való tükörképét pedig

B

. Az

E F

egyenesre

E

-ben, illetve

F

-ben állított merőleges síkokat jelölje rendre

S

és

T

. Az

e

egyenes nyilván

S

-ben, az

f

pedig

T

-ben van. Mivel

T

S

-nek

H

-ra való tükörképe,

B

T

síkban van. A tükrözés miatt viszont

B H = H A = \frac{1}{2} = H E

, ezért

E

illeszkedik az

A B

szakaszra emelt Thalész-gömbre, azaz

B E

merőleges

e

-re. Így

B

e

-re

E

-ben emelt merőleges síkban is benne fekszik, ami nyilván az

E F

és

f

egyenesek által kifeszített sík. Tehát

B

rajta van e két sík metszésvonalán,

f

-en. Mivel

A B = B H + H A = 1

, a

H

pont valóban a keresett mértani helyhez tartozik, ami így az egész

k

kör.

II. megoldás. Vegyük fel úgy a koordinátarendszert, hogy az

e

egyenes egybeessen a koordinátarendszer

x

tengelyével, az

f

egyenes pedig legyen párhuzamos a

z

tengellyel és legyen benne az

y

‐

z

síkban. A két egyenes távolsága legyen

a

.
Ha

a > 1

, akkor a feladatnak nincs értelme.
Ha

a = 1

, akkor az

A B

szakasznak csak egyetlen helyzete lenne lehetséges.
Tehát

a < 1

.
A fentiek alapján az

e

egyenes egyenletrendszere:

\begin{matrix} y = 0, z = 0; \end{matrix}

f

egyenes egyenletrendszere pedig

\begin{matrix} x = 0, y = a . \end{matrix}

Legyen

A

e

egyenesen és

B

f

-en, és jelölje az

A B

szakasz felezőpontját

F (x_{3}, y_{3}, z_{3})

. Ekkor az

A

és

B

pontok koordinátái:

A (x_{1},0,0)

B (0, a, z_{2})

, így

F

koordinátái

F (\frac{x_{1}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{z_{2}}{2})

, azaz

x_{1} = 2 x_{3}

z_{2} = 2 z_{3}

.
Mivel

A B = 1

, azért

\begin{matrix} | \vec{A B} | = | (- x_{1}, a, z_{2}) | = \sqrt[]{x_{1}^{2} + a^{2} + z_{2}^{2}} = 1, \end{matrix}

ahonnan

4 x_{3}^{2} + a^{2} + 4 z_{3}^{2} = 1

, vagyis

\begin{matrix} x_{3}^{2} + z_{3}^{2} = \frac{1 - a^{2}}{4} . \end{matrix}

Tehát az

F

pontok koordinátái kielégítik a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} x^{2} + z^{2} = \frac{1 - a^{2}}{4}, y = \frac{a}{2} . \end{matrix}

F

pontok tehát illeszkednek az

O (0, \frac{a}{2},0)

középpontú,

\frac{\sqrt[]{1 - a^{2}}}{2}

sugarú körre, mely az

y = \frac{a}{2}

egyenletű (az

x

‐

y

síkkal párhuzamos) síkban fekszik.
Azt is meg kell még vizsgálnunk, hogy a kör mely pontjai kaphatók meg egy megfelelően választott

A B

szakasz felezőpontjaként.
Ha

P

a kör egy pontja, akkor koordinátái

P (x_{p}, \frac{a}{2}, z_{p})

, és teljesül, hogy

\begin{matrix} x_{p}^{2} + z_{p}^{2} = \frac{1 - a^{2}}{4} . \end{matrix}

Olyan

A (x_{1},0,0)

és

B (0, a, z_{2})

pontokat keresünk, melyek illeszkednek az

e

, illetve az

f

egyenesre, és melyekre

A B

felezőpontja a

P

pont. Ekkor

x_{p} = \frac{x_{1}}{2}

z_{p} = \frac{z_{2}}{2}

, vagyis

x_{1} = 2 x_{p}

és

z_{2} = 2 z_{p}

, és így

\begin{matrix} A B = x_{1}^{2} + a^{2} + z_{2}^{2} = 4 x_{p}^{2} + a^{2} + 4 z_{p}^{2} = 4 \cdot \frac{1 - a^{2}}{4} + a^{2} = 1 - a^{2} + a^{2} = 1. \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a kör tetszőleges

P

pontjához található megfelelő

A B

szakasz.
Az

F

pontok mértani helye tehát egy

O (0, \frac{a}{2},0)

középpontú,

\frac{\sqrt[]{1 - a^{2}}}{2}

sugarú kör, mely az

y = \frac{a}{2}

egyenletű (az

x

‐

y

síkkal párhuzamos) síkban fekszik.

Megjegyzés. Csak páran bizonyították be, hogy a kör minden pontja jó. De azok is megkapták a 4 pontot, akik ezt nem tették meg.