Feladat: B.3924 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dobribán Edgár ,  Szalai Zsófia 
Füzet: 2008/február, 91 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számelrendezések, Logikai feladatok, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: B.3924

27 szabályos dobókockából úgy ragasztottunk össze egy 3×3×3-as kockát, hogy bármely két illeszkedő kis kockán azonos számú pötty van az illeszkedő lapokon. Hány pötty van a nagy kocka felszínén?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy szabályos dobókockán bármely két szemközti lapon összesen 7 pötty van.
Vegyünk egy tetszőleges külső kis kockát és ennek egy külső lapját. Ha ezen a lapon levő pöttyök száma x, akkor a vele szemben fekvő lapon 7-x pötty található. A feladat szerint azon a lapon, ami a (7-x)-es lappal illeszkedik, ugyancsak 7-x pötty található. Az ezzel szemben fekvő lapon 7-(7-x)=x, az ezzel a lappal illeszkedő lapon szintén x, végül a vele illeszkedő lapon ismét 7-x pötty található (lásd az ábrát).

 
 

Észrevehető, hogy ez a legutóbbi lap a nagy kocka felszínén van, és egyértelműen megfeleltethető az eredeti kis kocka lapjának, mivel azzal szemben fekszik. Tehát a nagy kocka külsején levő 632=54 kis lap párokba rendezhető úgy, hogy minden lap pontosan egy párban szerepel és a párokban levő lapokon található pöttyök számának összege 7. Mivel 542=27 ilyen pár van, a kocka felszínén összesen 277=189 pötty van.
 
Megjegyzés. Hasonló módon igazolható, hogy egy (2n+1)×(2m+1)×(2k+1)-es, a feladatbeli tulajdonsággal rendelkező téglatest felszínén található pöttyök száma
7[(2n+1)(2m+1)+(2n+1)(2k+1)+(2m+1)(2k+1)].

 
II. megoldás. Egy szabályos dobókocka felszínén oldalpáronként 7 pötty van összesen, és a dobókockán három oldalpár van. Egy dobókockán tehát 37=21 pötty van, 27 kockán összesen 2721=567. Ebből a számból kell levonni az összeragasztott lapokon található pöttyök számát.
Vegyünk három egymás mellé ragasztott kockát. A középső kockának a leragasztott oldalain összesen 7 pötty van. A másik két kockának a két leragasztott lapja ugyanannyi pöttyöt takar le, mint a középső kocka két leragasztott lapja, azaz szintén 7 pöttyöt. Egy kockahármas tehát 14 pöttyöt takar el.
A nagy kocka szemben fekvő lappárjainak mindegyike 9, összesen 27 ilyen kockahármast határoznak meg, így a letakart pöttyök száma 2714=378.
A nagy kocka felszínén tehát összesen 567-378=189 pötty van.