Kezdőlap


Feladat:	B.3924	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dobribán Edgár , Szalai Zsófia
Füzet:	2008/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Logikai feladatok, Kocka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: B.3924

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy szabályos dobókockán bármely két szemközti lapon összesen 7 pötty van.
Vegyünk egy tetszőleges külső kis kockát és ennek egy külső lapját. Ha ezen a lapon levő pöttyök száma $x$ , akkor a vele szemben fekvő lapon $7 - x$ pötty található. A feladat szerint azon a lapon, ami a $(7 - x)$ -es lappal illeszkedik, ugyancsak $7 - x$ pötty található. Az ezzel szemben fekvő lapon $7 - (7 - x) = x$ , az ezzel a lappal illeszkedő lapon szintén $x$ , végül a vele illeszkedő lapon ismét $7 - x$ pötty található (lásd az ábrát).

Észrevehető, hogy ez a legutóbbi lap a nagy kocka felszínén van, és egyértelműen megfeleltethető az eredeti kis kocka lapjának, mivel azzal szemben fekszik. Tehát a nagy kocka külsején levő

6 \cdot 3^{2} = 54

kis lap párokba rendezhető úgy, hogy minden lap pontosan egy párban szerepel és a párokban levő lapokon található pöttyök számának összege 7. Mivel

\frac{54}{2} = 27

ilyen pár van, a kocka felszínén összesen

27 \cdot 7 = 189

pötty van.

Megjegyzés. Hasonló módon igazolható, hogy egy

(2 n + 1) \times (2 m + 1) \times (2 k + 1)

-es, a feladatbeli tulajdonsággal rendelkező téglatest felszínén található pöttyök száma

\begin{matrix} 7 \cdot [(2 n + 1) (2 m + 1) + (2 n + 1) (2 k + 1) + (2 m + 1) (2 k + 1)] . \end{matrix}

II. megoldás. Egy szabályos dobókocka felszínén oldalpáronként 7 pötty van összesen, és a dobókockán három oldalpár van. Egy dobókockán tehát

3 \cdot 7 = 21

pötty van, 27 kockán összesen

27 \cdot 21 = 567

. Ebből a számból kell levonni az összeragasztott lapokon található pöttyök számát.
Vegyünk három egymás mellé ragasztott kockát. A középső kockának a leragasztott oldalain összesen 7 pötty van. A másik két kockának a két leragasztott lapja ugyanannyi pöttyöt takar le, mint a középső kocka két leragasztott lapja, azaz szintén 7 pöttyöt. Egy kockahármas tehát 14 pöttyöt takar el.
A nagy kocka szemben fekvő lappárjainak mindegyike 9, összesen 27 ilyen kockahármast határoznak meg, így a letakart pöttyök száma

27 \cdot 14 = 378

.
A nagy kocka felszínén tehát összesen

567 - 378 = 189

pötty van.