Feladat: C.901 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bozi Veronika ,  Szikszay László 
Füzet: 2008/január, 24 - 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Hossz, kerület, Téglalapok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/május: C.901

Az ABCD téglalap területe 1005. Jelölje P az AB oldal A-hoz közelebb eső ötödölő pontját. Tudjuk, hogy a PD szakasz merőleges az AC átlóra. Számítsuk ki a téglalap kerületét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ADP=CAB merőleges szárú szögek. Az ACB és DPA háromszögeknek két szöge egyenlő, azaz a két háromszög hasonló. Így a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, vagyis:

a5b=ba,azaza2=5b2.

 
 

A T=ab=1005 összefüggésből a=1005b, ezt a fenti egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy 50000b2=5b2, azaz b4=10000. Csak a b=10 lehet a megfelelő, mert hosszúságról van szó. Ekkor a=105. A téglalap kerülete: K=2a+2b=205+20.
 
II. megoldás. Vegyünk fel egy koordinátarendszert, melyben az A pont az origó, az AB oldal az x tengelyre, az AD oldal az y tengelyre illeszkedik. Így a pontok koordinátái: A(0;0), B(b;0), D(0;d), C(b;d); (b,d>0), mivel ABCD téglalap.
A P pont az AB oldal A-hoz legközelebbi ötödölő pontja, ezért P(b5;0). Mivel PDAC, a skaláris szorzatuk 0. E vektorok koordinátái: PD(-b5;d), AC(b;d).
Tehát
PDAC=-b25+d2=0,azazb2=5d2.
Mivel az ABCD területe T=bd=1005, azért b=1005d. Ezt behelyettesítve: (1005d)2=5d2, amiből csak d=10 (d>0) lehet. Az ABCD kerülete:
K=2(b+d)=2(1005d+d)=2005d+2d=205+20.
Tehát a téglalap kerülete 205+2064,72.