Kezdőlap


Feladat:	C.901	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bozi Veronika , Szikszay László
Füzet:	2008/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Hossz, kerület, Téglalapok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/május: C.901

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A D P ∢ = C A B ∢$ merőleges szárú szögek. Az $A C B$ és $D P A$ háromszögeknek két szöge egyenlő, azaz a két háromszög hasonló. Így a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, vagyis:

\begin{matrix} \frac{\frac{a}{5}}{b} = \frac{b}{a}, azaz a^{2} = 5 b^{2} . \end{matrix}

T = a b = 100 \sqrt[]{5}

összefüggésből

a = \frac{100 \sqrt[]{5}}{b}

, ezt a fenti egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy

\frac{50 000}{b^{2}} = 5 b^{2}

, azaz

b^{4} = 10 000

. Csak a

b = 10

lehet a megfelelő, mert hosszúságról van szó. Ekkor

a = 10 \sqrt[]{5}

. A téglalap kerülete:

K = 2 a + 2 b = 20 \sqrt[]{5} + 20

II. megoldás. Vegyünk fel egy koordinátarendszert, melyben az

A

pont az origó, az

A B

oldal az

x

tengelyre, az

A D

oldal az

y

tengelyre illeszkedik. Így a pontok koordinátái:

A (0; 0)

B (b; 0)

D (0; d)

C (b; d)

;

(b, d > 0)

, mivel

A B C D

téglalap.
A

P

pont az

A B

oldal

A

-hoz legközelebbi ötödölő pontja, ezért

P (\frac{b}{5}; 0)

. Mivel

\vec{P D} ⊥ \vec{A C}

, a skaláris szorzatuk 0. E vektorok koordinátái:

\vec{P D} (- \frac{b}{5}; d)

\vec{A C} (b; d)

.
Tehát

\begin{matrix} \vec{P D} \cdot \vec{A C} = - \frac{b^{2}}{5} + d^{2} = 0, azaz b^{2} = 5 d^{2} . \end{matrix}

Mivel az

A B C D

területe

T = b d = 100 \sqrt[]{5}

, azért

b = \frac{100 \sqrt[]{5}}{d}

. Ezt behelyettesítve:

{(\frac{100 \sqrt[]{5}}{d})}^{2} = 5 d^{2}

, amiből csak

d = 10

(d > 0)

lehet. Az

A B C D

kerülete:

\begin{matrix} K = 2 (b + d) = 2 (\frac{100 \sqrt[]{5}}{d} + d) = \frac{200 \sqrt[]{5}}{d} + 2 d = 20 \sqrt[]{5} + 20. \end{matrix}

Tehát a téglalap kerülete

20 \sqrt[]{5} + 20 \approx 64, 72