Feladat: B.3901 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bogár Péter ,  Csató László ,  Cseh Ágnes ,  Cserép Gergely ,  Csizmadija Laura ,  Dányi Zsolt ,  Farkas Ádám László ,  Fegyverneki Tamás ,  Gyöngyösi Zsolt ,  Honner Balázs ,  Károlyi Márton ,  Komáromy Dani ,  Kornis Bence ,  Kornis Kristóf ,  Kovács 129 Péter ,  Kovács Péter ,  Kozma Márton ,  Kunovszky Péter ,  Kutas Péter ,  Mészáros Gábor ,  Nagy János ,  Páldy Sándor ,  Pásztor Attila ,  Peregi Tamás ,  Szabó Tamás ,  Szakács Nóra ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba ,  Szűcs Gergely ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Tóthmérész Lilla ,  Udvari Balázs ,  Varga László ,  Véges Márton 
Füzet: 2007/január, 24 - 27. oldal  PDF file
Témakör(ök): Parabola egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/március: B.3901

Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyekből egy adott parabolához egymással 30-os szöget bezáró érintők húzhatók?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bármely két parabola hasonló, így az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy a szóban forgó parabola egyenlete y=x2. Ekkor a fókusz koordinátái F(0;14), a v vezéregyenes egyenlete pedig y=-14. Legyen P(u;v) a parabola tetszőleges külső pontja; ismeretes, hogy ez pontosan akkor teljesül, ha 0<u2-v.
A P-ből húzott érintők nem párhuzamosak a parabola tengelyével, így kereshetjük őket a P-n átmenő m meredekségű egyenesként, melynek egyenlete y=m(x-u)+v. Ez az egyenes akkor és csak akkor érinti a parabolát, ha a görbével egyetlen közös pontja van, tehát az

y=x2,y=m(x-u)+v
egyenletrendszernek egy megoldása van. Ez pontosan akkor teljesül, ha a behelyettesítéssel kapott x2-mx+mu-v=0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa,
m2-4um+4v=0.(1)
Ennek az m-ben másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa 16u2-16v, ez külső pontra pozitív, az egyenlet két valós gyöke, m1 és m2 a P-ből húzható két érintő meredeksége. Ha φ jelöli a két érintő hajlásszögét, akkor a fenti jelölésekkel a tg(α-β) kifejtési képlete alapján:
|tgφ|=|m1-m21+m1m2|.
Mivel tg30=33, így azon P pontok halmazát keressük, amelyekre a fent kiszámolt m1, m2 meredekségekkel
(m1-m21+m1m2)2=13.(2)
A gyökök és együtthatók összefüggései szerint az (1) egyenletből m1+m2=4u és m1m2=4v. A (2) feltétel tehát az (u;v) számpárra azt jelenti, hogy
(m1+m2)2-4m1m2=16u2-16v=13(1+m1m2)2=13(1+4v)2.(3)
A keresett mértani hely egyenlete az (u;v) változókkal:
48(u2-v)=(1+4v)2.
Rendezés és teljes négyzetté alakítás után az egyenlet
u2-(v+74)23=-1(4)
alakú. Ez egy, a kanonikus helyzethez képest eltolt és 90-kal elforgatott hiperbola egyenlete (1. ábra). A hiperbola valós tengelye az y-tengely, képzetes tengelye az x-tengellyel párhuzamos y=-74 egyenletű egyenes. A valós féltengely hossza a=3, a képzetes féltengely hossza b=1, így a fókuszoknak a centrumtól mért távolsága
c=a2+b2=2.
A hiperbola fókuszai tehát F1(0;14) és F2(0;-154).
 

 
1. ábra
 

 
Megjegyzések 1. A 2. ábrán látható, de a bizonyításból is kiolvasható, hogy a kapott hiperbola ,,alsó'' ágán azok a P pontok találhatók, amelyekből érintőket húzva a létrejövő 30-os szögtartomány tartalmazza a parabolát, míg a ,,felső'' ág pontjaira a kiegészítő, 150-os szögtartomány belsejében van a parabola.
 

 
2. ábra
 

2. Hasonló eredmény adódik, ha a feladatban adott 30 helyett tetszőleges hegyesszöget írunk elő. Ha az érintők szögét 90-nak választjuk, akkor a mértani hely egyenlete a fentiek alapján az m1m2=-1 feltételből 4v+1=0, ilyenkor a parabola vezéregyenesét kapjuk.
3. A válaszban felbukkant a parabola fókusza és ‐ speciális esetben ‐ a vezéregyenese is. Ha felhasználjuk a kúpszeletek ‐ és ezen belül a hiperbola ‐ egy kevésbé közismert származtatását, akkor ezek az eredmények egységes alakot öltenek. Hajós György: Bevezetés a geometriába című könyvének 422. oldalán olvasható a
 
42.5 Tétel. Azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyekre egy ponttól való távolságukat egy a ponton át nem haladó egyenestől való távolságukkal osztva megadott pozitív értéket kapunk, ellipszis, hiperbola vagy parabola aszerint, amint az adott érték 1-nél kisebb, 1-nél nagyobb vagy 1-gyel egyenlő. Ilyen mértani helyként minden kúpszeletet megkaphatunk.
 

Az adott pont a kúpszelet ‐ egyik ‐ fókusza, a rá nem illeszkedő egyenest általában is a kúpszelet vezéregyenesének nevezik, az adott állandót pedig a kúpszelet excentricitásának. A feladat megoldása ebben a formában közvetlenül is megkapható a (4) egyenletből: ha rendezés után mindkét oldalhoz (v+74)2+3(v-14)2-t adunk, (ez a lépés az eredmény ismerete nélkül nem egészen magától értetődő), akkor
3[u2+(v-14)2]=3(v-14)2+(v+74)2-3=4v2+2v+14=4(v+14)2
adódik. A bal oldalon a P pontnak a parabola fókuszától való távolsága négyzetének a 3-szorosa, a jobb oldalon pedig a P vezéregyenestől való távolsága négyzetének a 4-szerese áll. Az idézett tétel szerint tehát a mértani hely egy olyan hiperbola, amelynek fókusza és vezéregyenese a parabola fókusza, illetve vezéregyenese. A tételben szereplő arány értéke 23. Akinek jó a számérzéke vagy egy kicsit tovább kísérletezik az (1) összefüggéssel, az eljuthat ennek az értéknek a jelentéséhez is. A most következő megoldásból, amely a parabola érintőinek geometriai tulajdonságait felhasználva közvetlenül a fenti tétel alapján talál rá a mértani helyre, ennek az aránynak az értéke is kiderül.
 
II. megoldás. Tegyük föl, hogy az F fókuszú v vezéregyenesű parabola a külsejében fekvő P pontból α szögben látszik. A fókusz tükörképét a két érintőre jelölje G és H; ezek a pontok, mint ismert, a vezéregyenesen vannak. Jelölje végül a P vetületét a vezéregyenesen T (3. ábra).
 

 
3. ábra
 

Ha v elválasztja P-t és F-et, akkor a tükrözések miatt GPH=2α, azért GPT=α. A GPT derékszögű háromszögben:
cosα=PTPG=PTPF.
Ha P a v-nek ugyanarra az oldalára esik, mint F, akkor a 4. ábra szerint
GPT=180-α.
Ekkor a GPT derékszögű háromszögben:
-cosα=cos(180-α)=PTPG=PTPF.
Mindez azt jelenti, hogy adott α90 szög esetén a
|cosα|=PTPF
feltétel pontosan azokra a P pontokra teljesül, amelyekből a parabola α vagy 180-α szögben látszik és a két lehetőség aszerint valósul meg, hogy hogy a parabola vezéregyenese elválasztja-e a P és az F pontokat vagy sem. Az idézett tétel szerint tehát a keresett mértani hely egy olyan hiperbola, amelynek a parabolával közös a fókusza és a vezéregyenese, excentricitása pedig |cosα|.
 

 
4. ábra
 

 
Megjegyzés. A fentiekből az is leolvasható, hogy α=90 esetén PT=0, azaz ilyenkor a parabola vezéregyenesét kapjuk.