|
Feladat: |
B.3901 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Blázsik Zoltán , Bogár Péter , Csató László , Cseh Ágnes , Cserép Gergely , Csizmadija Laura , Dányi Zsolt , Farkas Ádám László , Fegyverneki Tamás , Gyöngyösi Zsolt , Honner Balázs , Károlyi Márton , Komáromy Dani , Kornis Bence , Kornis Kristóf , Kovács 129 Péter , Kovács Péter , Kozma Márton , Kunovszky Péter , Kutas Péter , Mészáros Gábor , Nagy János , Páldy Sándor , Pásztor Attila , Peregi Tamás , Szabó Tamás , Szakács Nóra , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba , Szűcs Gergely , Tomon István , Tossenberger Anna , Tóthmérész Lilla , Udvari Balázs , Varga László , Véges Márton |
Füzet: |
2007/január,
24 - 27. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Parabola egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2006/március: B.3901 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Bármely két parabola hasonló, így az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy a szóban forgó parabola egyenlete . Ekkor a fókusz koordinátái , a vezéregyenes egyenlete pedig . Legyen a parabola tetszőleges külső pontja; ismeretes, hogy ez pontosan akkor teljesül, ha . A -ből húzott érintők nem párhuzamosak a parabola tengelyével, így kereshetjük őket a -n átmenő meredekségű egyenesként, melynek egyenlete . Ez az egyenes akkor és csak akkor érinti a parabolát, ha a görbével egyetlen közös pontja van, tehát az
egyenletrendszernek egy megoldása van. Ez pontosan akkor teljesül, ha a behelyettesítéssel kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa, Ennek az -ben másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa , ez külső pontra pozitív, az egyenlet két valós gyöke, és a -ből húzható két érintő meredeksége. Ha jelöli a két érintő hajlásszögét, akkor a fenti jelölésekkel a kifejtési képlete alapján: Mivel , így azon pontok halmazát keressük, amelyekre a fent kiszámolt , meredekségekkel A gyökök és együtthatók összefüggései szerint az (1) egyenletből és . A (2) feltétel tehát az számpárra azt jelenti, hogy | | (3) | A keresett mértani hely egyenlete az változókkal: Rendezés és teljes négyzetté alakítás után az egyenlet alakú. Ez egy, a kanonikus helyzethez képest eltolt és -kal elforgatott hiperbola egyenlete (1. ábra). A hiperbola valós tengelye az -tengely, képzetes tengelye az -tengellyel párhuzamos egyenletű egyenes. A valós féltengely hossza , a képzetes féltengely hossza , így a fókuszoknak a centrumtól mért távolsága A hiperbola fókuszai tehát és .
1. ábra
Megjegyzések 1. A 2. ábrán látható, de a bizonyításból is kiolvasható, hogy a kapott hiperbola ,,alsó'' ágán azok a pontok találhatók, amelyekből érintőket húzva a létrejövő -os szögtartomány tartalmazza a parabolát, míg a ,,felső'' ág pontjaira a kiegészítő, -os szögtartomány belsejében van a parabola.
2. ábra 2. Hasonló eredmény adódik, ha a feladatban adott helyett tetszőleges hegyesszöget írunk elő. Ha az érintők szögét -nak választjuk, akkor a mértani hely egyenlete a fentiek alapján az feltételből , ilyenkor a parabola vezéregyenesét kapjuk. 3. A válaszban felbukkant a parabola fókusza és ‐ speciális esetben ‐ a vezéregyenese is. Ha felhasználjuk a kúpszeletek ‐ és ezen belül a hiperbola ‐ egy kevésbé közismert származtatását, akkor ezek az eredmények egységes alakot öltenek. Hajós György: Bevezetés a geometriába című könyvének 422. oldalán olvasható a
42.5 Tétel. Azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyekre egy ponttól való távolságukat egy a ponton át nem haladó egyenestől való távolságukkal osztva megadott pozitív értéket kapunk, ellipszis, hiperbola vagy parabola aszerint, amint az adott érték -nél kisebb, -nél nagyobb vagy -gyel egyenlő. Ilyen mértani helyként minden kúpszeletet megkaphatunk. Az adott pont a kúpszelet ‐ egyik ‐ fókusza, a rá nem illeszkedő egyenest általában is a kúpszelet vezéregyenesének nevezik, az adott állandót pedig a kúpszelet excentricitásának. A feladat megoldása ebben a formában közvetlenül is megkapható a (4) egyenletből: ha rendezés után mindkét oldalhoz -t adunk, (ez a lépés az eredmény ismerete nélkül nem egészen magától értetődő), akkor | | adódik. A bal oldalon a pontnak a parabola fókuszától való távolsága négyzetének a 3-szorosa, a jobb oldalon pedig a vezéregyenestől való távolsága négyzetének a 4-szerese áll. Az idézett tétel szerint tehát a mértani hely egy olyan hiperbola, amelynek fókusza és vezéregyenese a parabola fókusza, illetve vezéregyenese. A tételben szereplő arány értéke . Akinek jó a számérzéke vagy egy kicsit tovább kísérletezik az (1) összefüggéssel, az eljuthat ennek az értéknek a jelentéséhez is. A most következő megoldásból, amely a parabola érintőinek geometriai tulajdonságait felhasználva közvetlenül a fenti tétel alapján talál rá a mértani helyre, ennek az aránynak az értéke is kiderül.
II. megoldás. Tegyük föl, hogy az fókuszú vezéregyenesű parabola a külsejében fekvő pontból szögben látszik. A fókusz tükörképét a két érintőre jelölje és ; ezek a pontok, mint ismert, a vezéregyenesen vannak. Jelölje végül a vetületét a vezéregyenesen (3. ábra).
3. ábra Ha elválasztja -t és -et, akkor a tükrözések miatt , azért . A derékszögű háromszögben: Ha a -nek ugyanarra az oldalára esik, mint , akkor a 4. ábra szerint Ekkor a derékszögű háromszögben: | | Mindez azt jelenti, hogy adott szög esetén a feltétel pontosan azokra a pontokra teljesül, amelyekből a parabola vagy szögben látszik és a két lehetőség aszerint valósul meg, hogy hogy a parabola vezéregyenese elválasztja-e a és az pontokat vagy sem. Az idézett tétel szerint tehát a keresett mértani hely egy olyan hiperbola, amelynek a parabolával közös a fókusza és a vezéregyenese, excentricitása pedig .
4. ábra
Megjegyzés. A fentiekből az is leolvasható, hogy esetén , azaz ilyenkor a parabola vezéregyenesét kapjuk. |
|