Feladat: B.3900 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Csató László ,  Cserép Gergely ,  Cserép Máté ,  Győrffy Lajos ,  Honner Balázs ,  Károlyi Gergely ,  Kassai Gábor ,  Kovács 129 Péter ,  Kovács Péter ,  Mészáros Gábor ,  Milotai Zoltán ,  Nagy János ,  Páldy Sándor ,  Pásztor Attila ,  Sümegi Károly ,  Szabó Tamás ,  Szakács Nóra ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba ,  Szolnoki Lénárd ,  Szűcs Gergely ,  Szudi László ,  Tomon István ,  Udvari Balázs ,  Varga László 
Füzet: 2007/március, 149 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Periodikus sorozatok, Rekurzív sorozatok, Legnagyobb közös osztó, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/március: B.3900

Határozzuk meg azokat az (a1;a2) pozitív egész számpárokat, amelyekre az an+2=an+an+1(an,an+1)  (n1) rekurzióval definiált sorozat periodikus.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sorozat tagjai a képzési szabály miatt nyilvánvalóan pozitív egészek. Legyen (minden n-re) dn=(an,an+1), ekkor dn+1 osztja an+1-et és an+2-t; ezért osztója dnan+2-an+1=an-nek is. Így, dn+1an és dn+1an+1 miatt dn+1 osztója az an és an+1 legnagyobb közös osztójának, dn-nek is. Speciálisan kapjuk, hogy

dn+1dn,
minden n-re.
Tegyük fel, hogy az (ak) sorozat periodikus; ekkor a szomszédos tagok legnagyobb közös osztóiból álló (dk) sorozat is periodikus. Láttuk, hogy ez a sorozat monoton fogyó, ezért csak konstans lehet:
d1=d2=...:=d.

Ha d=1, akkor an+2=an+1+an>an+1 minden n-re, tehát a sorozat (a második tagjától kezdve) szigorúan monoton növő, így nem lehet periodikus. Ha d3, akkor
an+3+an+2=an+2+an+1d+an+1+and=an+1+and+an+1d+an+1+and==(1d2+2d)an+1+(1d2+1d)an<an+1+an
szerint az (ak+1+ak) sorozatnak van olyan részsorozata, amely szigorúan monoton fogyó, így maga a sorozat nem periodikus. Akkor viszont az (ak) sorozat sem lehet periodikus, feltételünkkel ellentétben. Ezzel beláttuk, hogy d értéke csak 2 lehet. A sorozat elemeinek képzési szabálya tehát a következő:
an+2=an+1+an2,
a sorozat minden tagja a megelőző kettőnek a számtani közepe. Ebből szemléletesen látszik (illetve a fenti formulából egyszerű átrendezéssel is adódik), hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége minden lépésben feleződik:
|an+2-an+1|=|an+1-an2|.
Ha a1a2, akkor |an+2-an+1|=|a2-a1|2n mutatja, hogy az n elég nagy értékeire |an+2-an+1| nem lehet egész, ellentmondva annak, hogy az (ak) sorozat elemei (pozitív) egészek. Így a1=a2, tehát (a1,a2)=2 miatt a1=a2=2. Ebből következik, hogy a sorozat minden eleme is 2; ebben az egyetlen lehetséges esetben a (konstans 2) sorozat valóban periodikus.