Kezdőlap


Feladat:	B.3900	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Csató László , Cserép Gergely , Cserép Máté , Győrffy Lajos , Honner Balázs , Károlyi Gergely , Kassai Gábor , Kovács 129 Péter , Kovács Péter , Mészáros Gábor , Milotai Zoltán , Nagy János , Páldy Sándor , Pásztor Attila , Sümegi Károly , Szabó Tamás , Szakács Nóra , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba , Szolnoki Lénárd , Szűcs Gergely , Szudi László , Tomon István , Udvari Balázs , Varga László
Füzet:	2007/március, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Periodikus sorozatok, Rekurzív sorozatok, Legnagyobb közös osztó, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: B.3900

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sorozat tagjai a képzési szabály miatt nyilvánvalóan pozitív egészek. Legyen (minden $n$ -re) $d_{n} = (a_{n}, a_{n + 1})$ , ekkor $d_{n + 1}$ osztja $a_{n + 1}$ -et és $a_{n + 2}$ -t; ezért osztója $d_{n} a_{n + 2} - a_{n + 1} = a_{n}$ -nek is. Így, $d_{n + 1} ∣ a_{n}$ és $d_{n + 1} ∣ a_{n + 1}$ miatt $d_{n + 1}$ osztója az $a_{n}$ és $a_{n + 1}$ legnagyobb közös osztójának, $d_{n}$ -nek is. Speciálisan kapjuk, hogy

\begin{matrix} d_{n + 1} \leq d_{n}, \end{matrix}

minden

n

-re.
Tegyük fel, hogy az

(a_{k})

sorozat periodikus; ekkor a szomszédos tagok legnagyobb közös osztóiból álló

(d_{k})

sorozat is periodikus. Láttuk, hogy ez a sorozat monoton fogyó, ezért csak konstans lehet:

\begin{matrix} d_{1} = d_{2} = ... : = d . \end{matrix}

d = 1

, akkor

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} > a_{n + 1}

minden

n

-re, tehát a sorozat (a második tagjától kezdve) szigorúan monoton növő, így nem lehet periodikus. Ha

d \geq 3

, akkor

\begin{matrix} a_{n + 3} + a_{n + 2} & = \frac{a_{n + 2} + a_{n + 1}}{d} + \frac{a_{n + 1} + a_{n}}{d} = \frac{\frac{a_{n + 1} + a_{n}}{d} + a_{n + 1}}{d} + \frac{a_{n + 1} + a_{n}}{d} = \\ = (\frac{1}{d^{2}} + \frac{2}{d}) a_{n + 1} + (\frac{1}{d^{2}} + \frac{1}{d}) a_{n} < a_{n + 1} + a_{n} \end{matrix}

szerint az

(a_{k + 1} + a_{k})

sorozatnak van olyan részsorozata, amely szigorúan monoton fogyó, így maga a sorozat nem periodikus. Akkor viszont az

(a_{k})

sorozat sem lehet periodikus, feltételünkkel ellentétben. Ezzel beláttuk, hogy

d

értéke csak 2 lehet. A sorozat elemeinek képzési szabálya tehát a következő:

\begin{matrix} a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1} + a_{n}}{2}, \end{matrix}

a sorozat minden tagja a megelőző kettőnek a számtani közepe. Ebből szemléletesen látszik (illetve a fenti formulából egyszerű átrendezéssel is adódik), hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége minden lépésben feleződik:

\begin{matrix} | a_{n + 2} - a_{n + 1} | = | \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{2} | . \end{matrix}

a_{1} \neq a_{2}

, akkor

| a_{n + 2} - a_{n + 1} | = \frac{| a_{2} - a_{1} |}{2^{n}}

mutatja, hogy az

n

elég nagy értékeire

| a_{n + 2} - a_{n + 1} |

nem lehet egész, ellentmondva annak, hogy az

(a_{k})

sorozat elemei (pozitív) egészek. Így

a_{1} = a_{2}

, tehát

(a_{1}, a_{2}) = 2

miatt

a_{1} = a_{2} = 2

. Ebből következik, hogy a sorozat minden eleme is 2; ebben az egyetlen lehetséges esetben a (konstans 2) sorozat valóban periodikus.